内容发布更新时间 : 2024/5/18 16:20:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1设X1,X2是取自正态总体N??,1?的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是μ的无偏估计量：

213111X1?X2,X1?X2,X1?X2, 并指出其中哪一个估计量更有效。 334422

可见第三个估计量更有效。

21n2设X1,X2,L,Xn是取自正态总体N??,??的一个样本，试证S?是X?X???in?1i?122?2的相合估计。

证明：由于服从自由度为n-1的-分布，故

，

从而根据车贝晓夫不等式有

， 所以是的

相合估计。

3 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布，试求总体均值?的0.9的置信区间。（1）若已知σ=0.01（厘米），（2）若σ未知。

解：（1） ，置信度0.9，即α=0.1，查正

态分布数值表，知, 即, 从而

，， 所以总体均值 的0.9的置信区间

为.

（2）σ未知

,

置信度0.9，即α=0.1，自由度n-1=15，查t-分布的临界值表

所以置信度为0。9的μ的置信区间是

4 某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。

答： 设正态总体

分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有

对1-α=0.95，即α=0.05，查t分布表（自由度为n+m-2=16），得 于是

，

所以在置信概率0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。

21 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布N100,1.15，某日开

??工后，随机抽查10箱，重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100有显著差异（给定水平α=0.05，并认为该日的?0仍为1.15）？ 答：以该日每箱重量作为总体 察值对方差已知的正态总体检验 原假设

，它服从

，问题就归结为根据所给的样本观

，可采用U-检验法。

，于是

，由所给样本观察值算得

对于α=0.05，查标准正态分布表得 ，因为 ，所以接受 ，即可以认为该日每箱重量的数学期望与100 无显著差异，包装机工作正常。

2 设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下（单位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 . 问此时包装机工作是否正常? (??0.01)

解：，

选取检验统计量： ，计算得，在n=9,α=0.05时，

。拒绝域

正常的。

，因此 此时包装机工作是

3 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N??1,7.5?N??2,2.6?. 现从两矿各抽n=5, m=4个试件，分析其含灰率为(%)

甲矿 乙矿 24.3 18.2 20.8 16.9 23.7 20.2 21.3 16.7 17.4 问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望?1,?2有无显著差异（显著水平α=0.05）？

答：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体 值对方差已知的两个正态总体检验 原假设

，由所给样本观察值算得

和总体 ,问题归结为根据所给的样本观察

，可采用U-检验法。

，于是

对于α=0.10，查标准正态分布表得 即可以认为

有显著差异。

，因为 ，所以拒绝

，

4 两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布见下表），从中分别抽取8个和9个产品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（α=0.05）？

甲床 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙床 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 答：已知n=8，m=9，α=0.05，假设

，

α=0.05，α/2=0.025，第一自由度n-1=7，

第二自由度m-1=8，在 分布

成立的条件下选取统计量

服从自由度分别为7，8的F

查表： ，因为F=3.69<4.53,所以接受假设

，即可以认为两台车床生

产的滚珠直径的方差相等。

5 自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体N(?,?2)，?,?2均未知。试依据这一样本取显著性水平??0.01检验假设：

H0:??8.42,H1:??8.42。

解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题， 检验统计量为

t?8.3?8.420.025/9x?8.42s/n。

代入本题具体数据，得到t???14.4。

检验的临界值为?t0.01(8)??2.8965。

1 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，

240，228，196，246，200。

（1）写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本的均值，方差及二阶原点距。 答：（1）总体为该批机器零件重量ξ，样本为 228，196，246，200，样本容量为n=8；

，样本值为230，243，185，240，

（2）

222 设总体X服从正态分布N?,?，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的简

??单随机样本。

（1）写出样本X1,X2,X3的联合密度函数；