内容发布更新时间 : 2024/11/2 16:26:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第八章 微 分 方 程
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此寻找变量之间的函数关系，在实践中具有重要的意义。然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但是可以根据问题所提供的条件，比较容易建立起这些变量及其导数（微分）之间的关系式或有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，数学上把这种关系式叫做微分方程。对建立的微分方程进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程。
基本内容：基本概念：微分方程、可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程
基本运算：可分离变量微分方程、可降价微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的解法 基本理论：常数变易法、欧拉指数法
具体应用：用微分方程解决实际的应用问题
本章重点：微分方程的概念、变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程 课标导航
1．了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念；
2．掌握可分离变量微分方程的概念与解法；掌握齐次微分方程与可化为齐次微分方程的概念与解法；
?P(x)dx3．了解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶齐次线性微分方程的解法及通解公式y?Ce?、一阶非齐次
线性微分方程的解法、通解公式y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]及其通解的结构；
4．会用变量代换解伯努利方程；掌握可降价微分方程y(n)?f(x)、y???f(x,y?)、y???f(y,y?)的解法 5．掌握求二阶常系数齐次微分方程的通解的方法（欧拉指数法），了解二阶常系数非齐次微分方程解的结构，并会用待定系数法求自由项形如f(x)?pm(x)e?x与f(x)?e?x[pn(x)cos?x?pm(x)sin?x]的二阶常系数非齐次微分方程的特解和通解；
6．会用叠加原理求自由项f(x)?f1(x)?f2(x)的二阶常系数非齐次微分方程的特解。 一、知识梳理与链接 （一）基本概念
定义1 凡含有自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
【注意】微分方程中自变量及未知函数可能含有也可能不含有，但必须含有未知函数的导数或微分。 定义2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 【注意】微分方程的阶数一定是正整数。
定义3 微分方程的阶数是几阶的，微分方程就称为几阶微分方程。 定义4 能使微分方程成立的函数，称为微分方程的解
定义5 若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
定义6 满足某个特定条件的解，称为微分方程的特解。这个特定条件称为微分方程的初始条件。 定义7 如果一个一阶微分方程能化成g(y)dy?f(x)dx形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
定义8 如果一个一阶微分方程能化成dy??(y)形式，那么就称原方程为齐次方程
dxx定义9 形如dy?P(x)y?Q(x)的方程，称为一阶线性微分方程。
dx 当Q(x)?0时，称dy?P(x)y?0为一阶齐次线性微分方程；当Q(x)?0时，称dy?P(x)y?Q(x)为一阶非齐次
dxdx线性微分方程。其中：P(x)、Q(x)是已知的函数
定义10 形如dy?P(x)y?Q(x)yndx(n?0,1)的一阶微分方程，称为伯努利方程
定义11 形如y???py??qy?0的二阶微分方程（其中p、q为常数）称为二阶常系数线性齐次微分方程
②
定义12 形如 y???py??qy?f(x) 的二阶微分方程（其中p、q为常数f(x)为已知函数）称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
（二）定理、解法及公式
1．可分离变量微分方程的解法
对可分离变量微分方程g(y)dy?f(x)dx的等式两端同时积分?g(y)dy??f(x)dx. 设g(y)、f(x)的原函数分别为
G(y)和F(x)，则方程的解为G(y)?F(x)?C.
①
2．齐次方程的解法
设u?y，有y?ux,dy?u?xdu， 则齐次方程可化为可分离变量的微分方程，原方程化为u?xdu??(u)，即
xdxdxdxxdududx， 求出积分后，再用y代替u便得齐次方dudx 两端积分得??(u)?u，分离变量得????(u)?u?xxdx?(u)?ux程的通解。
3．一阶线性方程解法
??P(x)dxdy. ?P(x)y?0通过可分离变量微分方程求其通解为y?Cedx??P(x)dxdy是它的解，代入方程得?P(x)y?Q(x)的通解可通过常数变易法求得。其方法是：设y?C(x)edxC(x)??Q(x)e?P(x)dx?P(x)dxP(x)dxdx?C. 则其通解为y?e?[?Q(x)e?dx?C]
4．伯努利方程解法
作变换z?y1?n将方程化为一阶线性微分方程。即y??P(x)y?Q(x)yn化为dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x).
dx5．可降阶的微分方程 方程的形式与特点 y(n)?f(x) y(n)?解法（降阶法） 即得方程的f(x)两边连续积分n次，特点：左端是未知函数y的n阶导数，右端是x的已知函数 通解。 y???f(x,y?) 设y??z(x)，原方程为z??f(x,z)，是一特点：左端是未知函数y的二阶导数，右端不含有y. 阶线性微分方程，即可求其解。 y???f(y,y?) 设y??z(y)，原方程为zdz?f(y,z)，是dy特点：左端是未知函数y的二阶导数，右端不含有x 一阶线性微分方程，即可求其解。 6．方程解的结构的基本定理 定理1 设y1、y2是方程①的解，则y?c1y1?c2y2也是方程的解。
定理2 设y1、y2是①方程的两个线性无关的解，则y?c1y1?c2y2是方程的通解。
定理3 设Y是方程①的通解，y?是方程②的一个特解，则y?Y?y?是方程②的通解。 定理4 设y1、y2分别是方程y???py??qy?f1(x)与y???py??qy?f2(x)的解 则 y?c1y1?c2y2是方程y???py??qy?f1(x)?f2(x)的解。 7．二阶常系数线性齐次微分方程y???py??qy?0的解法
⑴依方程y???py??qy?0写出特征方程r2?pr?q?0；⑵求出特征根r1、r2；⑶由特征根写出方程的通解。 方程y???py??qy?0的通解形式如下表
情况 1 2 特征方程r2?pr?q?0的根 两个不相等的实根r1、r2 重根r1=r2 微分方程y???py??qy?0的通解形式 y?c1erx?c2erx 12y?(c1?c2x)er1x 3 一对共扼复数根r1,2???i? y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) 【注意】以上求解的方法称为欧拉指数法 8．二阶常系数线性非齐次微分方程解法
（1）求二阶常系数线性非齐次微分方程 y???py??qy?pm(x)e?x （其中：pm(x)是x的m次多项式，?为常数）的通解
写出方程③对应的齐次微分方程①的通解Y，求出方程③的特解 求方程③的特解的方法是 情况 1 2 3 常数?与特征根的关系 不是特征方程r2?pr?q?0的根 是特征方程r2?pr?q?0的一个单根 是特征方程r2?pr?q?0的根重根 微分方程③特解的形式 y??(a0xm?a1xm?1???am)e?x?Qm(x)e?x y??x(a0xm?a1xm?1???am)e?x?xQm(x)e?x y??x2(a0xm?a1xm?1???am)e?x?x2Qm(x)e?x ③
得方程y???py??qy?pm(x)e?x的通解y?Y?y?
（2）求二阶常系数线性非齐次微分方程y???py??qy?e?x[pn(x)cos?x?pm(x)sin?x] （其中：pn(x)、pm(x)分别是x的
n次、m次多项式，?、?为常数）的通解
④
写出方程④对应的齐次微分方程①的通解Y，求出方程④的特解 求方程④特解的方法是
情常（复）数??i?与特况 征根的关系 ??i?不是特征方程r2?pr?q?0的根 微分方程④特解的形式 y??e?x[(a0xk?a1xk?1???ak)cos?x?(b0xk?b1xk?1???bk)sin?x] ?e?x[Rk(1)(x)cos?x?Rk(2)(x)sin?x]其中：k?max{n,m} 1 2 ??i?是特征方程r2?pr?q?0的根 y??e?x[x(a0xk?a1xk?1???ak)cos?x?x(b0xk?b1xk?1???bk)sin?x] ?e?x[xRk(1)(x)cos?x?xRk(2)(x)sin?x]其中：k?max{n,m} 得方程y???py??qy?e?x[pn(x)cos?x?pm(x)sin?x]的通解y?Y?y?
二、友情提醒与内容强化解读 1．对微分方程的认识
过去建立方程，常常只是为了求某些量的个别值，例如函数已知，求它的零点、极值点。数学中还有与上述问题本质不同的另一类问题：函数本身是未知的，如何通过方程来求出这个函数？这类方程曾经有人称之为泛函方程（泛函在这里可解释为函数的函数）。例如隐函数F(x,y)?0可说是最简单最原始的泛函方程。 最重要的泛函方程是微分方程——含有未知函数的导数或微分的方程。它可分为两大类：常微分方程——式中导数为全导数；偏微分方程——式中出现偏导数。
2．微分方程解的形式
（1）显式解——y?f(x)或x?g(y)；
（2）隐式解——由方程F(x,y)?0确定的函数关系；
（3）参数方程解——由参数方程x?x(t)，y?y(t)确定的函数关系；
3．所有的微分方程未必有通解
所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解。