内容发布更新时间 : 2024/11/13 6:55:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
所以SFCGN515?2???1??S△AFC??S△ABC?S△ABC．
7428?7?根据题意，有1S△ABC?5S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)
528
【例 30】 如图，面积为
l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、
CA 的三等分点,求阴影部分面积.
ADEIHEQDPAIMHN
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理
吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212所以S四边形ADMI?(1?1)S△ABC?1S△ABC,
12126同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的1
6BFGCBFGC所以S△ABM⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
所以S△ADN?1S△ABN?1?1S△ABC?1S△ABC,同理S△BEQ?1S△ABC
3372121在
△ABC中，根据燕，
尾所
定理以
S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2
1所以S△ABP?S△ABC51?11?11S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?S△ABC
52121105??同理另外两个五边形面积是
11113 S阴影?1??3??3?610570△ABC面积的
11105，所以
【例 31】 如图，面积为
l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、
CA 的三等分点,求中心六边形面积.
ADEIHADEQCNRIPH
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR?BG:CG.?2:1, S△ABR:S△CBR?AI:CI?1:2
所以S△ABR?2S△ABC,同理S△ACS?2S△ABC,S△CQB?2S△ABC
777BFGBMFSGC所以S△RQS?1?2?2?2?1，同理S△MNP?1
7777根据容斥原理，和上题结果S六边形711131???? 777010
课后练习： 练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的
面积．
AFDBE
S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，【解析】
S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
C设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，
HD?DA，求四边形ABCD的面积．
HDAECBGHDCBGFAEF
【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即
S△CGF?2S△CDB
同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD
连接AC，同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD 所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，
四边形BGHF的面积是 平方厘米．
ADEGHFADBCEGHF M
【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积．
由题意可得到：EG:GC?EB:CD?1:2，所以可得：S?EBG?1S?BCE
BC3将AB、DF延长交于M点，可得： BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1，
而EH:HC?EM:CD?(1AB?AB):CD?3:2，得CH?2CE，
252255 S?BCE?1?1AB?BC?1?120?30
224 S四边形BGHF?S?EBC?1S?EBC?1S?EBC?7S?EBC?7?30?14．
351515而CF?1BC，所以S?CHF?1?2S?BCE?1S?BCE
本题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是
FH:HD)，同样也能解出．
练习4. 如图，已知AB?AE?4cm，BC?DC，?BAE??BCD?90?，AC?10cm，则
S?ABC?S?ACE?S?CDE? cm2．
CBCBAEDA'AEDC'
【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形
AEC'和A'DC，再连接A'C'，显然AC?AC'，AC?A'C，AC?A'C?AC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系： S?AEC?S?A'DC'；S?AEC'?S?A'DC；S?CED?S?C'DE．
所以S?ABC?S?ACE?S?CDE?S?AEC'?S?ACE?S?CDE?1SACA'C'?1?10?10?50cm2．
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练习5. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的
中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．
ADADEGHEGH
【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD?1:2,设S△BHC?1份，根据燕尾定理
（1?2?2)?2?10份，SBFHG?S△CHD?2份，S△BHD?2份，因此S正方形?BFC
BFC127??，所236以SBFHG?120?10?7?14(平方厘米).
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练习6. 如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，
若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．
ADNCBEADNBEMM
【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、如果能求出BN、F是边BC的三等分点，
NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．
根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而S?ACM?2S?ADM，所以
4BD． 5那么S?BMF?BM?BF?S?BCD?4?2?1?4，S四边形CDMF?1?4?7．
BDBC5321521530另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?1S?ABD?1?1?1，
55210则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM?1?1?7．
31030S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那么BM?4DM，即BM?FFC
练习7. 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的
面积是74，求角形GHI 的面积．
AAFIBHGDEFICBHGDEC【解析】 连接
BG，S△AGC?12份
据
燕
尾
，
定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?4:3?12:9S△ABG:S△AGC?BD:DC?4:3?16:12
得S△BGC?9(份)，S△ABG?16(份)，则S△ABC?9?12?16?37(份)，因此
S△AGC12, ?S△ABC37根
同理连接AI、CH得S△ABHS△ABC?12S△BIC12,,所以S△GHI?37?12?12?12?1 ?37S△ABC37S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74?
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