内容发布更新时间 : 2024/6/26 20:45:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2 ∴二次函数f??x???3x?2ax?1?12a2a的开口向下，对称轴x??. 233 故函数f??x?在区间?1,2?上单调递减. ………………………10分 又f??1???3?2a?1?1212a???a?2??0， ………………………11分 22 ∴当x??1,2?时，f??x??f??1??0.

∴函数f?x?在区间?1,2?上单调递减. ………………………12分 ∴函数f?x?的最大值为f?1??a?12a，最小值为f?2???a2?4a?6. 2………………………14分

6、

7、解：（1）由题意得f?(x)?12x2?2a…………1分

当a?0时，f?(x)?0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为???，+?? ………………2分

aa)(x?)， …………4分 66aa此时函数f(x)的单调递增区间为 (－∞，?］ ，［，＋∞)． ………5分

66aaf(x)的单调递减区间为 ［?，］． ………………6分

66当a?0时，f?(x)?12(x?(2)证明：由于0≤x≤1，故

33

当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x－2ax＋2≥4x－4x＋2． ………………

8分

333

当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x＋2a(1－x)－2≥4x＋4(1－x)－2＝4x－4x＋2．…

10分

3

设g(x)＝2x－2x＋1， 0?x?1，

则g′(x)＝6x－2＝6(x－于

2

33)(x＋)， …………11分 33是

x g′(x) g(x) 0 (0，3) 33 30 极小值 (3，1) 1 3＋ 增 1 ………………12分

1 － 减 343)＝1－＞0 393∴ 当0?x?1时，2x?2x?1?0………………13分

所以，g(x)min＝g(

故f(x)?a?2?4x?4x?2?0． ∴ 当0?x?1时，f(x)?a?2?0

………………14分

3 （注：此问还可以按分类讨论的思想，令h(x)?f(x)?a?2，

证明当0?x?1时，h(x)min?0成立，请参照给分）

8、解（1）g?x?的定义域为(0,??)

当a?1时，g?x??x?1?2lnx， g??x??1?当x??0,2?时，g??x??0，g?x?单调递减 当x??2,???时，g??x??0，g?x?单调递增，

综上，g?x?的单调递增区间为?2,???，单调递减区间为?0,2? ………………3分 （2）由题意知：?2?a??x?1??2lnx?0，在x??0,?上恒成立，

2x?2?………………………1分 xx??1?2?

即?a?2??1?x??2lnx在区间?0,?上恒成立，

??1?2?又1?x?0，?a?2?2lnx?1?在区间?0,?上恒成立 …………………………4分 1?x?2?221?x??2lnx?2?2lnx?2lnx?1?xx设h?x??2?，x??0,?，则h??x?? …5分 ?221?x?2??1?x??1?x?又令m?x??22?2?2x2?1? ……6分 ?2?2lnx,x??0,?，则m??x???2??2xxxx2??当x??0,?时，m??x??0，m?x?单调递减，?m?x??m???4?2?2ln20???1?2??1??2?，

即h??x??0在?0,?恒成立 ………………………………………………………7分

??1?2?所以h?x?在?0,?单调递增，?h?x??h???1?2??1???2?2??2ln1212?2?4ln2，

故a?2?4ln2，所以实数a的最小值2?4ln2. …………………………………8分 （3）k?y2?y1lnx2?lnx1， …………………………………………………………9分 ?x2?x1x2?x1x1?x212，所以f??x0???lnx?? ……………………10分 ??2xx?xx?x0012又x0?要证k?f??x0?.

2?x2?x1?lnx2?lnx12即证，不妨设0?x1?x2，即证lnx2?lnx1?， ?x2?x1x1?x2x1?x2?x?2?2?1?x1?x2?即证ln………………………………………………………………11分 ?x2x1?1x1设t?2?t?1?4x2?2?， ?1，即证：lnt?t?1t?1x1

4?2?0，其中t??1,???， ……………………………12分 t?14?2?t??1,????， 事实上：设k?t??lnt?t?1也就是要证：lnt??t?1??4t??t?1??0，……………………………13分 14则k??t????22t?t?1?2t?t?1?t?t?1?所以k?t?在?1,???上单调递增，因此k?t??k?1??0。

9、解：（1）对f?x?求导得, f?(x)?aex?be?x?c， …………1分 由f??x?为偶函数，知f???x??f??x?， …………2分 即(a?b)(e?x?ex)?0,对?x?R成立,所以a?b. …………3分 又f?(0)?a?b?c?2?c,

解得a?1,b?1. …………4分 （2）当c?1时，f(x)?ex?e?x?x，那么

22f?(x)?ex?e?x?1?2ex?e?x?1?1?0. …………6分

故

f(x)在R上为增函数. …………7分

（3）由（1）知f?(x)?ex?e?x?c，

而ex?e?x?2ex?e?x?2,当x?0时,等号成立. …………8分

下面分三种情况进行讨论. 当c?2时，对任意x?R,f?(x)?ex?e?x?c?0，此时f?x?无极值； ……9分 当c?2时，对任意x?0,f?(x)?ex?e?x?2?0，此时f?x?无极值； …10分

2当c?2时，令ex?t,方程t??c?0,即t?ct?1?0有两根，

1tc?c2?4c?c2?4 t1??t2?, …………11分

22所以f??x??0有两个根x1?lnt1,x2?lnt2. 当x1?x?x2时，f??x??0；当x?x2时，f??x??0,

从而f?x?在x?x2处取得极小值. …………13分

综上，若f?x?有极值，则c的取值范围为(2,??). …………14分 10、解：（1）法一：根据题意：令x?1，可得f(1)?f()?0，

∴f(1)??a?b?0，…………………………………………………………………………1分 经验证，可得当a?b时，对任意x?0，都有f(x)?f()?0，

∴b?a．………………………………………………………………………………………2分 法二：Qf(x)?f()?lnx?ax?111x1xba?lnx??bx xx??ax?ba??bx， xx1?(b?a)(x?)?0，………………………………………………1分

x∴要使上式对任意x?0恒成立，则须有b?a?0，即b?a.……………………………2分 （2）由（1）可知f(x)?lnx?ax?a，且x?0， x1a?ax2?x?a，………………………………………………………3分 ?f'(x)??a?2?2xxx令g(x)??ax2?x?a，

要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则须有y?g(x)有两个不相等的正数根，

?a?0?a?0?1?1??1??0??00?a?或，解得或无解，………………………5分 ??2a?2a2???1?4a2?0???1?4a2?0?????g(0)??a?0?g(0)??a?021a?a的取值范围0?a?,可得0??1， 228a2a2a322a3由题意知f()?ln???2lna???ln2，

222aa22x3223x2?3x4?4x?4令h(x)?2lnx??， ?ln2，则h'(x)??2??2x2xx22x而当x?(0,1)时，?3x4?4x?4??3x4?4(1?x)?0，即h'(x)?0， 2?h(x)在(0,1)上单调递减， 2