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浙江省2016届宁波高三十校联考

文科数学 试题卷

参考公式：

柱体的体积公式：V?Sh

锥体的体积公式：V?Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

3 选择题部分 (共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

3台体的体积公式：V?1h(S1?S1S2?S2)其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高

3

球的表面积公式：S?4?R2 球的体积公式：V?4?R3 其中R表示球的半径

1．已知全集U??1,2,3,4,5,6?，集合A??2,3,5?，B??1,3,4?，则A?(eUB)?（ ） A. ?3?

B．?2,5? C．?1,4,6? D．?2,3,5?

2．在等差数列{an}中，a2?a3?8，前7项和S7?49，则数列{an}的公差等于（ ） A．1 B．2 C．

206 D． 353． “a?2”是“直线ax?2y?1?0与x?(a?1)y?1?0互相平行”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设?,?,?是不同的平面，m,n是不同的直线，则由下列条件能得出m??的是（ ） A．n??,n??,m?? B．????m,???,??? C．m?n,n?? 5．要得到函数y?cos(2x?A．向左平移

D．???,????n,m?n

?)图象，只需将函数y?sin(?2x)图象（ ）

32???个单位 B．向右平移个单位 33??C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

66?3x?y?0， ??6．若实数x,y满足条件：?x?3y?2?0，则3x?y的最大值为（ ）

?y?0， ??23A．0 B．3 C．23 D．

3?x?2?1,x?1,??17．已知函数f(x)???,x?1,, g(x)?f(x)?k，k为常数，给出下列四种说法：

2??1?log1x,x?1,?2?1时，g(x)的所有零点之和等于22； 2③当k??1时，g(x)有且仅有一个零点； ④f(x?1)是偶函数.

①f(x)的值域是(??,1]； ②当k??

1

其中正确的是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

y A x2y2?1（a?0）的左、右焦点分别8．如图，焦点在x轴上的椭圆2?a3是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A内切圆在边PF1上的切点为Q，若|FQ|?4，则该椭圆的离心率为1A．

P P为F1、F2，

点，△APF1的

F1 O F2 Q x（ ）

11713 B． C． D． 4244（第8题图）

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．??40?12?cos?? ，log39?lg2?log210 = ．

3 10．双曲线9x2?16y2??144的实轴长等于 ，其渐近线与圆

x?y?2x?m?0 相切，则m? . 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ，表面积

于 .

12．在边长为1的等边?ABC中，P为直线BC上一点，若

224 2 正视图 侧视图

等

俯视图 （第11题图）

AP?(2??)AB?2?AC,??R，则?? ，AP?AC? . 13．函数y?3sinx?cosx?cosx?21?,x?[0,]的单调递增区间是 . 2214．已知A是常数，如果函数f(x)满足以下条件：①在定义域D内是单调函数；②存在区间[m,n]?D,使得

{y|y?f(x),m?x?n}?[An?3,Am?3]，则称f(x)为“反A倍增三函数”.若g(x)?16?x?x是“反A倍增三函数”，那么A的取值范围是 . 15．已知正实数a，b满足：a?b?1，则

2ab?的最大值是 . a2?ba?b2三、解答题：本大题有5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，向量m?(5a?4c,4b)与n?(cosB,?cosC)互相垂直. （Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若c?5,b?10，求?ABC的面积S．

17．如图，?ABC中，O是BC的中点，AB?AC，AO?2OC?2．将?BAO沿AO折起，使B点到达B?点．

2

（Ⅰ）求证：AO?平面B?OC； （Ⅱ）当三棱锥B??AOC的体积最大时，试问在线段B?A上是否存在一点P，

使CP与平面B?OA所成的角的正弦值为置；若不存在，请说明理由.

18．已知正项数列?an?的前n项和Sn满足：4Sn?(an?1)(an?3)，（n?N）.

*B? P B 6？若存在，求出点P的位3O

C

A

（第17题图）

(Ⅰ) 求an；

（Ⅱ）若bn?2n?an，求数列?bn?的前n项和Tn.

19．已知O是坐标系的原点，F是抛物线C:x2?4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，弦AB的中点为M，?OAB的重心为G． (Ⅰ)求动点G的轨迹方程；

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形

DEMG的面积最小时直线AB的方程.

220．已知函数f(x)?ax?1?x，a?R.

y B F A E M x G D O （第19题图） (Ⅰ)若a?2，且关于x的不等式f(x)?m?0在R上有解，求m的最小值； (Ⅱ)若函数f(x)在区间[?3,2]上不单调，求a的取值范围．

3

2016年宁波市高三十校联考数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A D C C D

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

9.

112 ， 1 10. 6，1625 11. 6? ，12?10? 12. ?1，?2

13. [0,?3] 14. [?1923?316,?1) 15. 3

三、解答题：本大题有5小题，共 74分.16. 解：(Ⅰ)因为?m???解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. n ，所以(5a?4c)cosB?4bcosC?0，??????.??.2分

所以(5sinA?4sinC)cosB?4sinBcosC， ???? ??????????.4分 所以5sinAcosB?4(sinBcosC?cosBsinC)?4sin(B?C)?4sinA，

而sinA?0，所以cosB?45. ??? ???????? ???. ??????.7分

（Ⅱ）由余弦定理得，10?25?a2?2?5?a?45，

化简得，a2?8a?15?0，??????????????? ?.. ?????.10分 解得，a?3或a?5， ???????????? ?.. ??????????.12分

而c?5,sinB?35，又S?12casinB,

故S?12?5?3?3913155?2或S?2?5?5?5?2. ????????????.14分

17.（Ⅰ）证明：因为AB?AC且O是BC的中点，

所以AO?BO,AO?CO，由折叠知AO?B'O，又CO?B?O?O， 所以AO?平面B?OC. ? ?????????????.?6 分

（Ⅱ）不存在. ???????????. ???.???7 分 B?

证明如下：

当面B'OA?面AOC时，三棱锥B??AOC的体积最大.

P 因为面B'OA?面AOC?AO,B'O?AO, B所以B'O? 面ACO. ??????.?9 分 O

C

（方法一）连结OP，

因为CO?B'O,CO?AO，AO?B?O?O,

所以CO?面B'OA,

A

所以?CPO即为CP与平面B?OA所成的角，??.?12 分 在直角三角形CPO中，

CO?1,?COP??2,sin?CPO?633，所以CP?6， 而?ACB'中，AC?AB'?5,B'C?2， 设C到直线AB?的距离为h，则由S12?5h?12?2?5?13?ACB'?2，得h?5. ??????????????????????????????????14分

因为CP?h, 所以满足条件的点P不存在. . ????????????..?15 分 （方法二）(前面12分同解法一)在直角三角形CPO中，

4

CO?1,?COP??,tan?CPO?2?OC2OP,所以OP?22 ,

易求得O到直线AB'的距离为2525?2 ，???????????.?14 分 所以满足条件的点P不存在.????????????????.?15 分

（方法三）已证得OA,OB',OC两两垂直 ，如图建立空间直角坐标系O?xyz， 则A(2,0,0),B设???AP??????AB???(0,0,1),C(0,1,0) ??(?2?，0，?)，则???CP?????CA?????AP??(2?2?,?1,?)，???11分

又平面B?OA的法向量?n?(0,1,0)，依题意得，

zCP?n6B? CP?n?3，??????????????13分 P 得16，化简得，108??5?2?16??7?05?2??3 ， B OC y此方程无解，????????????????14分

所以满足条件的点P不存在. ??????.?15 分

xA 18. 解：(Ⅰ) 因为4Sn?(an?1)(an?3)?a2n?2an?3，

所以当n?2时，4S2n?1?an?1?2an?1?3， ??????????????.?2 分

两式相减得，4aa22n?n?an?1?2an?2an?1， ?????????????.?3 分

化简得，(an?an?1)(an?an?1?2)?0，

由于?an?是正项数列，所以an?an?1?0，

所以a*n?an?1?2?0，即对任意n?2,n?N都有an?an?1?2，?????.?5 分

又由4S22?1?a1?2a1?3得，a1?2a1?3?0，解得a1?3或a1??1（舍去）

，??6 分 所以an?是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an?3?2(n?1)?2n?1. ??????? ??????????????.?8 分

（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，bn?(2n?1)?2n，

Tn?3?21?5?22?7?23???(2n?1)?2n?1?(2n?1)?2n， ①

2Tn?3?22?5?23?7?24???(2n?1)?2n?(2n?1)?2n?1， ② .??????10 分

②-①得，

Tn??3?21?2(22?23?24???2n)?(2n?1)?2n?1 ??????????.?13 分

??6?2?4(1?2n?1)1?2?(2n?1)?2n?1 ?2?(2n?1)?2n?1. ????????? ??????????????.?15 分

19. 解：（Ⅰ）焦点F(0,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB: y?kx?1，????1分

联立x2?4y，消去y得，x2?4kx?4?0， ??2 分

设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,y)，

y 则x1?x2?4k,x1x2??4，???????.?3 分 B 所以y21?y2?kx1?1?kx2?1?4k?2，

FM A G D E O x

5