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2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I
第8讲函数与方程函数的应用练习理北师大
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( ) A.(0，1)
B.(1，2)
C.(－2，－1) D.(－1，0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0， ∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1，0)内有零点. 答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( ) A.，0
B.－2，0
C.
D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0. 答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) A.(1，3)
B.(1，2)
C.(0，3)
D.(0，2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0 4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( ) 2019年 A.5 B.8 C.9 D.10 解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln，∴f(t)＝a·， 因此，当k min后甲桶中的水只有 L时， f(k)＝a·＝a，即＝， ∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案 A 5.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( ) A. B. C.－ D.－8 3解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 答案 C 二、填空题 6.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________. 解析 ∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1， ∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2) ＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2. 2a＋b＝－3，①??由此可得?a2＋2ab＝0，② ??a3＋3a2＝a2b.③∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2. 答案 －2 1 7.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每 2019年 过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 解析 设过滤n次才能达到市场要求， 则2%≤0.1%，即≤， 所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8. 答案 8 8.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，则a的值为________. 解析 函数y＝|x－a|－1的图像如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 答案 －2 三、解答题 9.已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a， (1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程； (2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围. 解 (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根， 因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根. (2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点， 只需即解得 故实数a的取值范围为. 10.(2017·陕西实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 1