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全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）

离散型随机变量及其分布列、期望与方差

【考纲要求】

一、离散型随机变量及其分布列

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 二、离散型随机变量的均值与方差

（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；

（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量的概念

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，?,?，??表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

要点诠释：

1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。

2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。 3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。

方差 均值 离散型随机变量 随机变量 分布列 全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）

二、离散型随机变量的分布列及性质

1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，?，xi?,xn，X取每一个值xi(i=1,2,?,n)的概率P(X=xi)=pi，则表

X P x1 x2 p2 ?? ?? xi pi ?? ?? xn pn p1 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n表示X的分布列。

2．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0（i=1,2,?,n）； ②?pi=1。

i?1n要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。

1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率。

2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格。

分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。

考点二、常见离散型随机变量的分布列 1.两点分布

若随机变量X服从两点分布，即其分布其中p?P(X?1)称为成功概率。 2.几何分布

独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数?也是一个正整数

X P 0 1-p 1 p 列为，

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的离散型随机变量。

\??k\表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，

如果把第k次重复试验时事件A发生记作Ak，事件A不发生记作Ak，且 P(Ak)?P,P(Ak)?1-P，那么P(??k)?P(A1A2?Ak-1Ak)?(1-p)k-1P 那么离散型随机变量ξ的概率分布是： ξ 1 2 3 P P (1-P)P (1-P)2P ? ? k (1-P)k-1P ? ? 称这样的随机变量?服从几何分布，记作g(k,p)?(1?p)k?1p,其中

k?0,1,?2,

若随机变量?服从几何分布g(k,p)?(1?p)k?1p,，则E??3.超几何分布

11?p，D??2 pp在含有M件次品的N件新产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}

kn?kCMCN?M发生的概率为P(X?k)?,k?0,1,2,?,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤nCNN,n,M,N∈N*,称分布列

X P 0 0n?0CMCN?M nCN1 1n?1CMCN?M nCN?? ?? m mn?mCMCN?M nCN

为超几何分布列。

考点三、离散型随机变量的均值与方差 一、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 x2 p2 ?? ?? xi pi ?? ?? xn pn p1