内容发布更新时间 : 2024/7/1 15:51:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
说明： 1.
评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2017 年全国高中数学联合竞赛加试（B
卷）参考答案及评分标准
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、（本题满分 40 分）设实数a , b , c 满足a b c 0 ．令d max{| a |, | b |, | c|}．
证明：
(1 a )(1 b )(1 c ) 1 d 2 ．
因此
证明：当d 1时，不等式显然成立． …………………10 分 以下设0 d 1．不妨设a , b 不异号，即ab 0 ，那么有
(1 a )(1 b ) 1 a b ab 1 a b 1 c 1 d 0 ．
…………………20 分
(1 a )(1 b )(1 c ) (1 c )(1 c ) 1 c 2 1 c 2 1 d 2 ．
…………………40 分
二、（本题满分 40 分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可
将正整数集N+ 分拆为k 个互不相交的子集 A1 , A2 , , Ak ，每个子集 Ai 中均不存在 4 个数 a ,b, c ,d （可以相同），满足ab ? cd ? m ．
设a ,b, c ,d ∈ Ai ，则
ab ? cd ≡ i ? i ? i ? i ? 0(mod m ?1) ，
故 m ? 1 ab ? cd ，而m ? 1 m ，所以在 Ai 中不存在 4 个数a ,b, c ,d ，满足 证明：取k ? m ? 1，令 Ai ? ?x x ≡ i (mod m ? 1), x ∈ N+ ?，i ? 1,2, ,m ?1．
…………………20 分
…………………40 分 ab ? cd ? m ．
三、（本题满分 50 分）如图，点D 是锐角△ ABC 的外接圆ω 上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω 过点B , C 的切线分别相交于点P , Q ，BQ 与 AC 的交点为 X ， CP 与 AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ．求证： AT 平分线段 XY ．
（答题时请将图画在答卷纸上）
P
D
A
Y
T
B
X
C
Q
M
1
证明：首先证明YX ∥BC ，即证
AX
连接BD , CD ．因 为
SS
? ACQ ? S ?ABC ?? ?ACQ ，
SSS ?ABC ? ABP ?ABP
? ．
XC YB
AY
1 AC ? CQ sin ∠ACQ 1 AC ? BC sin ∠ACB 1 AC ? AQ sin ∠CAQ 2 ? 2 ?? 2 ， ① 1 AB ? BC sin ∠ABC 1 AB ? BP sin ∠ABP 1 AB ? AP sin ∠BAP 2 2 2 由题设，BP , CQ 是圆ω 的切线，所以 ∠ACQ ? ∠ABC , ∠ACB ? ∠ABP ， 又 ∠CAQ ? ∠DBC ? ∠DCB ? ∠BAP （注意D 是弧BC 的中点），于是由①知
所以
AB ? AQ ??CQ ． AC ? AP BP
②
…………………20 分
因为∠CAQ ? ∠BAP ，所以∠BAQ ? ∠CAP ，于是 S 1 ?ABQ 2 AB ? AQ sin ∠BAQ AB ? AQ
S ??1 ??AC ? AP ， ?ACP
2 AC ? AP sin ∠CAP
S 1
?BCQ 2 BC ? CQ sin ∠BCQ CQ
而 S??BP ， ?BCP ??1
2 BC ? BP sin ∠CBP
SS
?ABQ ???CBQ ，
由②，③，④得 SS ?ACP ?BCP
③
④
即
?ABQ ??S ?ACP ，
SS?BCP ?CBQ
S
又 故
AXAYXC ? YB ．
?ABQ ??AX ， S ?ACP ??AY ， SS ?BCP ?CBQ XC YB
…………………40 分
S
设边BC 的中点为M ，因为
AXCMBYXC ? MB ? YA ? 1 ，
…………………50 分
所以由塞瓦定理知， AM , BX , CY 三线共点，交点即为T ，故由YX ∥BC 可得，
AT 平分线段 XY ．
四、（本题满分 50 分）设a1 , a 2 , , a 20 {1, 2, , 5}, b1 , b2 , , b20 {1, 2, , 10} ，
集合 X (i , j ) 1 i
j 20, ( ai a j )(bi b j ) 0 ，求 X 的元素个数的最大值．
解：考虑一组满足条件的正整数( a1 , a2 , , a20 , b1 , b2 , , b20 ) ．
对k 1, 2, , 5 ，设a1 , , a20 中取值为k 的数有tk 个．根据 X 的定义，当ai aj