内容发布更新时间 : 2024/6/1 12:14:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题07 导数及其应用 文

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )

【答案】：D

【解析】：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D. 2．曲线y＝e在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 92A.e 2C．2e 【答案】：D

11?4121222【解析】：∵y′＝e2，∴k＝e2＝e，∴切线方程为y－e＝e(x－4)，令x＝0，得y＝－e，令y＝0，

2222122

得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e|＝e.

2

3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 【答案】：D

x12

x22

B．4e D．e

2

2

13?b?2

4．若函数f(x)＝x－?1＋?x＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )

3?2?4

A．2b－ 3C．0

32B．b－ 23132

D．b－b

6

【答案】：A

【解析】：f′(x)＝x－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－430，得x2，由f′(x)<0，得b

2

?1?【答案】：?，＋∞? ?2?

6．已知f(x)＝axln x＋1(a∈R)， x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，则a＝________. 【答案】：2

【解析】：∵f′(x)＝aln x＋a，∴f′(1)＝a＝2. 7．已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1. (1)若λ＝0，求f(x)的最大值；

(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：

fx>0. x－1

2

8．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．

xax2－ax＋2

【解析】：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2－＝. xxx22

设g(x)＝x－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0, 判别式Δ＝a－8.

①当Δ＝a－8<0，即00都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．

②当Δ＝a－8＝0，即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．

③当Δ＝a－8>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2222

2

a－a2－8

2

，x2＝

a＋a2－8

2

，0

x f′(x) f(x) 此时f(x)在(0，(0，x1) ＋ x1 0 (x1，x2) － x2 0 (x2，＋∞) ＋ f(x1) 2 ，f(x2) 2a－a2－82)上是增加的，在(a－a2－8a＋a2－8a＋a2－8

2

)上是减少的，在(

a＋a2－8

2

，＋∞)上是增加的．x1＝

a－a2－8

2

是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．

12

9．已知函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x，a∈R.

2

(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程． (2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有的取值范围；若不存在，说明理由．

fx2－fx1

>a恒成立？若存在，求出ax2－x1