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《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导， 则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛， 则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( )

f'(z)?0， 则f(z)?C（常数）. ( )

4.若f(z)在区域D内解析， 且

5.若函数f(z)在z0处解析， 则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点， 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限， 则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数， 则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.

( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数， 则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

dz?__________.（n为自然数）

1、 ?n|z?z0|?1(z?z)022sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?4.设

?1z2?1， 则f(z)的孤立奇点有__________.

n5.幂级数

?nzn?0的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析， 则称它是__________.

z1?z2?...?zn?limzn??n??n??n7.若， 则______________.

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ezRes(n,0)?z8.________， 其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为________ .

zlimf(z)?___zf(z)的极点， 则z?z010.若0是.

三.计算题（40分）：

f(z)?1. 设

1(z?1)(z?2)， 求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设， 其中C?{z:|z|?3}， 试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?如果|f(z)|在D内为常数， 那么它在D内f(z)在区域D内解析. 证明：

z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

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《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续， 则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析， 则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点， 则limf(z)一定不存在. ( )

z?z06. 若函数f(z)在z0可导， 则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

8. 若数列{zn}收敛， 则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析， 则|f(z)|也在D内解析. ( )

111)?0且f()?,n?1,2,.... 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(n?12n2n( )

二. 填空题. (20分)

1. 设z??i， 则|z|?__,argz?__,z?__

2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C， 则limf(z)?________.

z?1?i3.

dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）

?n?04. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0， 则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1， 则f(z)的孤立奇点有_________. 1?z29. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

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