内容发布更新时间 : 2025/10/14 5:24:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
【点睛】
本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.
三、解答题
17．在VABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m?(2a?c,b)与向量
urrn?(cosC,cosB)共线.
（1）求B；
（2）若b?37，a?3，且AD?2DC，求BD的长度. 【答案】（1）B?uuuruuur?3（2）BD?19 【解析】（1）根据共线得到(2a?c)cosB?bcosC，利用正弦定理化简得到答案. （2）根据余弦定理得到c?9，cosC?【详解】
?1，再利用余弦定理计算得到答案. 27urr（1）∵m?(2a?c,b)与n?(cosC,cosB)共线，∴(2a?c)cosB?bcosC.
即(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC，∴2sinAcosB?sin(B?C)?sinA 即sinA(2cosB?1)?0，∵sinA?0，∴cosB?（2）b?37，a?3，B??1，∵B?(0,?)，∴B?.
32?3，在VABC中，由余弦定理得：
a2?c2?b29?c2?631cosB???，∴c2?3c?54?0.
2ac2?3?c2则c?9或c??6（舍去）.
uuuruuura2?b2?c29?63?81?11??∴cosC?，∵AD?2DC∴DC?b?7. 2ab32?3?3727第 11 页 共 21 页
在VBDC中，由余弦定理得：
BD2?CB2?DC2?2CB?DCcosC?9?7?2?3?7?∴BD?19. 【点睛】
?1?19， 27本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.
18．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，?ADC?90o，平面PAD?底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA?PD?AD?2，
BC?1，CD?3
?1?求证：平面PQB?平面PAD；
?2?若PM?3MC，求二面角M?BQ?C的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
?． 6【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解． 试题解析：
（1）∵Q为AD的中点，PA?PD?AD?2，BC?1，
∴PQ?AD，QL//BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴DC//QB， ∵底面ABCD为直角梯形，AD//BC，?ADC?90o，∴BQ?AD．
又BQ?PQ?Q，∴AD?平面PQB．∵AD?平面PAD，∴平面PQB?平面
PAD．…………6分
（2）∵PQ?AD，平面PAD?底面ABCD，平面PAD?底面ABCD?AD， ∴PQ?底面ABCD，
以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为轴z，建立空间直角坐标系，
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则Q(0,0,0)，B(0,3,0)，C(?1,3,0)，P(0,0,3)，
uuuur3uuur设M(a,b,c)，则PM?PC，
4即(a,b,c?3)?333333(?1,3,?3)?(?,,?)， 4444∴a??33333333，b?，c?，∴M(?,,)， 444444uuuruuuur3333QM?(?,,)，QF?(0,3,0)，
444uuuur3333n·QM??x?y?z?0rMQBr?(x,y,z){设平面的法向量，则， 444uuurn·QB?3y?0取x?1，得r?(1,0,3)，平面BQC的法向量n?(0,0,1)．
rrrrm·n3cos???M?BQ?C设二面角的平面角为?，则， rr2m·n∴???6，
∴二面角M?BQ?C的大小为
?．………………12分 6
【考点】空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用．
1x2y219．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，左、右焦点分别是F1,F2，椭
2ab圆C上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3； （1）求椭圆C的方程；
（2）过F1作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点（点A在第二象限），M,N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若?MAB??NAB，求证：直线MN的斜率为定值.
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x2y2【答案】（1）（2）证明见解析. ??1；
43【解析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于a,b,c的方程，解方程可求得a,b,c，进而得到椭圆方程；（2）假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到x1?x2和
x1x2；根据?MAB??NAB知kAM?kAN?0，从而可利用韦达定理形式表示出等式，
化简可得?2k?1??2m?2k?3??0；当2m?2k?3?0时，可知过A点，不符合题意；所以可知k??【详解】
（1）由题意可得：
1. 2c1?且bc?3 a2又Qa2?b2?c2得：a2?4，b2?3，c2?1
x2y2?椭圆C的方程为??1
43（2）证明：由（1）可得：直线l：x??1，A??1,? 设直线MN的方程为y?kx?m，代入椭圆方程 消y可得3?4k??3?2??2?x2?8kmx?4m2?12?0
设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则??484k?m?3?0
22??8km4m2?12 则x1?x2??，x1x2?223?4k3?4k33y2??0 2?2?0 ?x1?1x2?1y1?Q?MAB??NAB ?kAM?kAN即?kx1?m???3?3??x?1?kx?m????2?2??x1?1??0 2?2??22k4m?12???33?8km???2kx1x2??m?k???x1?x2??2m?3??m?k??2m?3?0???222?3?4k2?3?4k??化简可得?2k?1??2m?2k?3??0
1?k??或2m?2k?3?0
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当2m?2k?3?0时，直线MN的方程为y?k?x?1??则直线MN经过点A??1,?，不满足题意
3 2??3?2?1?k??
2即直线MN的斜率为定值?【点睛】
本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值.
20．红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计
1 217量的值.（表中zi?lny,z??zi）
7i?1
平均温度x/?C 平均产卵数y/个 21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 x y z ??xi?x??zi?z? i?1n??xi?x?i?1n2 27.429 81.286 3.612
40.182 147.714 （1）根据散点图判断，y?a?bx与y?ce（其中e?2.718L自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必
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