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三角函数专题

【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．

【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．

【例题解析】

题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．

例1 若x是三角形的最小内角，则函数y?sinx?cosx?sinxcosx的最大值是（ ） A．?1

B．2

C．?1?2 2D．

1?2 2分析：三角形的最小内角是不大于决．

解析：由0?x??2的，而?sinx?cosx??1?2sinxcosx，换元解32sinx?(4?3x?，令t?sinx?cos?而),?x???44?7?，得121?t?2．

t2?1又t?1?2sinxcosx，得sinxcosx?，

22t2?11(2)2?112?(t?1)?1，有1?0?y?2??2?．选择答案D． 得y?t?2222点评：涉及到sinx?cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决． 解法二：y?sinx?cosx?sinxcosx???1?2sin?x???sin2x，

4?2?当x??4时，ymax?12?，选D。

2例2．已知函数f(x)?2asinxcosx?2bcos2x．，且f(0)?8,f()?12．

?6 （1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．

分析：待定系数求a，b；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数f(x)可化为f(x)?asin2x?bcos2x?b．

（1）由 f(0)?8，f()?12可得f(0)?2b?8， f()???6633a?b?12，所以22b?4，a?43．

（2）f(x)?43sin2x?4cos2x?4?8sin(2x?故当2x??6)?4，

?6?2k???2即x?k???6(k?Z)时，函数f?x?取得最大值为12．

点评：结论asin??bcos??a2?b2sin?????是三角函数中的一个重要公式，它在

解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．

题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．

例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数y?cos?2x?只需将函数y?sin2x的图象

??π??的图象，3?5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移5π个长度单位 125πD．向右平移个长度单位

6B．向右平移

分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数y?cos?2x???π????5????sin2x???sin2x?????3?32?6??5π个长度单位，选择答案A． 125?????sin2x????，故

12???要将函数y?sin2x的图象向左平移

yyy?2y2-??22-??2o?2-?3?2?2xo?A3?2xo?B3?2x?o?2-?3?2x?CD例4 （2008高考江西文10）函数y?tanx?sinx?tanx?sinx在区间(象是

分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数y?tanx?sinx?tanx?sinx??一些特殊点，选择答案D．

?3?2,2)内的图

?2tanx,当tanx?sinx时．结合选择支和

2sinx,当tanx?sinx时?点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．

题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 例5 （2008高考山东卷理5）已知cos?????π?4?sin??3，则sin?6?54 5D．

7π??????的值是

6??A．?

23 5

??B．

23 5C．?4 5分析：所求的sin???解析： C ．cos???7π???sin(??)，将已知条件分拆整合后解决． ?6?6????433343??4??sin???sin??cos???sin??????，所6?52256??5以sin?????7?6??4??． ??sin???????6?5??点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数 学思想和运算能力．解题的关键是对cos?????π?4?sin??3的分拆与整合． ?6?5例6（2008高考浙江理8）若cos??2sin???5,则tan?=