内容发布更新时间 : 2025/1/6 15:25:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）

1、连续型随机变量X的概率密度函数f(x)也一定是连续函数 （×） 2、随机变量X是定义在样本空间S上的实值单值函数 （√） 3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√） 4、离散型随机变量X的分布律就是X的取值和X取值的概率 （√） 5、随机变量X的分布函数F(x)表示随机变量X取值不超过x的累积概率（√） 6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×） 7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×） 8、若P(ABC)?P(A)P(B)P(C)成立，则A,B,C相互独立 （×） 9、若A,B,C相互独立，则必有P(ABC)?P(A)P(B)P(C) （√） 二、单选题

1、设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32),

Pi?P{?2?Xi?2)(i?1,2,3)，则（ A ） A．P1?P2?P3

B. P2?P1?P3

C. P3?P2?P1

D. P1?P3?P2

2、设随机变量X~N(0,1)，其分布函数为?(x)，则随机变量Y?min{X,0}的分布函数F(y)为（ D ）

?1,A、F(y)????(y),?0,C、F(y)????(y),y?0 y?0y?0 y?0?1,B、F(y)????(y),?0,D、F(y)????(y),y?0 y?0y?0 y?0

3、设随机变量X的密度函数为?(x)，且?(?x)??(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有（ B ）

A、F(?a)?1???(x)dx

0a

a1B、F(?a)????(x)dx

20 C、F(?a)?F(a) D、F(?a)?2F(a)?1

?a??分析 F(?a)???x(dx)令x??t???a0?????aa???t(dt)???xdx( )??aa??1???(x)dx???(x)dx???(x)dx???(x)dx???(x)dx0aa??

?2Fa（-a）+2??(x)dx0a1F(?a)????(x)dx，选B

204、设F（）分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使（）与F2x1x是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应F（x）=aF（）-bF（）1x2x取（ A ）

32A、a?，b??

5522 B、a?，b?

33

1313C、a??，b? D、a?，b??

2222x???（x）?1， 分析 根据分布函数的性质limF（x）=F（+?）=aF（（即1?limF1+?）-bF2+?）=a-b

x???在给的四个选项中只有A满足a-b?1，选A

5、设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和f（，分布函数分别为F和F，则（ D ） ）（）（f1x）（）2x2x1xA、（必为某一随机变量的概率密度 f1x）+f（）2xB、（必为某一随机变量的概率密度 f1x）（f2x）

C、F必为某一随机变量的分布密度 （）+F（）1x2x D、F必为某一随机变量的分布密度 （）F（）1x2x分析 首先可否定选项A与C，

f1x）+f（）]dx??因为?[（2x????????f（）dx??1x????f（）dx?2?1 2xF（（1+?）+F2+?）=1+1=2?1

0〈x12〈x-1?1，〈?1，?〈x）=对于选项B，若（，f（，则对任何 f1x）=??20，其它??0，其它x?(??,??),（f1x）（f2x）?0,?????（f1x）（f2x）dx?0?1，也应否定C。选D

进一步分析可知，若令X?max(X1,X2)，而Xi（x）分布函数F恰是F，因为 （）F（）1x2x（fix）,i?1,2，则X的

F（x）=P{X?x}?P{max(X1,X2)?x}?P{X1?x,X2?x}?P{X1?x}P{X2?x}?F（）F（）2x1x6、设随机变量X与Y均服从正态分布X

N(?,42),YN(?,52)，记

p1?P{X???4},p2?P{Y???5}，则（ A ）

B、对任何实数?都有p1?p2

A、对任何实数?都有p1?p2

C、只有?的个别值，才有p1?p2 D、对任何实数?都有p1?p2

X????4???P{??}??( 1),分析 p1?P{X???4}44Y????5??p2?P{Y???5}?P{?}?1??(1)??(?1)

55因此，对任何实数?都有p1?p2。选A 7、设随机变量X服从正态分布X（ C ）

A、单调增大 B、单调减少 C、保持不变 分析 由于X故N(?,?2)，

X??N(01,)则随?的增大，概率P{X????}N(?,?2)，

D、增减不定

X???1}??(1)

?，P{X????}?P{? 计算看出概率P{X????}的值与?的大小无关。选C 8、设随机变量X服从正态分布XN(0,1)，对给定的?(0???1)，数z?满足

P{X?z?}??。若P{X?x}??，则x等于（ C ）

A、z? B、z21??2

C、z1??

2 D、z1??

分析 由于XN(0,1)，故对任何正数??0，

1P{X??}， 2有P{X??}?P{X???}?若P{X?x}??，则因0???1，必有x?0且

1111??P{X?x}?P{X?x}?(1?P{X?x})? 2222由此可见x?z1??。选C P{X?x}?29、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min{X,2}的分布函数（ D ）

A、是连续函数 B、至少有两个间断点 C、是阶梯函数

D、恰好有一个间断点

分析 设Y的分布函数为FY(y)，X的概率密度函数为

x?1???e,x?0f(x)???,(??0)

?0,x?0??0,y?0?y??由于Y?min{X,2}，因此FY(y)?P{Y?y}?P{min{X,2}?y}??1?e?,0?y?2

?1,y?2??因为lim?FY(y)?2,y?2y?2lim?FY(y)?1?e?2?，所以Y的分布函数为FY(y)恰好有一个间

断点y?2。选D 三、填空题

1、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于5/9 1的概率为3x??1?0,?0.4,?1?x?1?2、设随机变量X的分布函数为F(x)?P{X?x}??，则X的概率

0.8,1?x?3??3?x?1,分布为（ ）

分析 在X的分布函数F(x)的各间断点处，有

P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?F(x)?F(x?0)

??1}?F(?1?)F则 P{X?(?1，P?{X?1}?F(1)?F(1?0)?0.4，

P{X?3}?F(3)?F(3?0)?0.2，因此X的概率分布为

X P -1 0.4 1 0.4 3 0.2

?13,0?x?12?3、设随机变量X概率密度为f(x)??29,3?x?6，若k使得P{X?k}?，则

3?0,其它?k的取值范围是（ ） 分析

12dx?

??0333112P{X?k}?P{X?3}?1?P{X?3}?1??f(x)dx?1??dx? 当k?3时，

??033322当1?k?3时，P{X?k}?P{k?X?3}?P{X?3}??0dx?P{X?3}?0??

k33当k?1时，P{X?k}?P{X?1}?1?P{X?1}?1??1f(x)dx?1??1故k的取值范围是1?k?3或者[1，3]。

?2x，0?x?14、设随机变量X概率密度为f(x)??，以Y表示对X的三次独立重

?0,其它1复观察中事件{X?}出现的次数，则P{Y?2}?（ ）

212111分析 由于P{X?}??2xdx?，故YB(3,)，

0244139于是P{Y?2}?C32()2()?

44645、设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布，设随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布，若P{X?1}?5，则P{Y?1}?（ ） 95 900分析 因为P{X?1}?1?P{X?0}?1?C2p(1?p)2?1?(1?p)2，又P{X?1}? 解方程1?(1?p)?251

，得p?， 93

219因此P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C30p0(1?p)3?1?(1?p)3?1?()3?

327