内容发布更新时间 : 2024/5/21 23:01:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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函数值的绝对误差等于函数的全微分，自变量的微分即为自变量的误差； 函数值的相对误差等于函数的对数的全微分。
将式(1-5)及(1-6)中的差限 和特别地， 由式(1-5)及(1-6)可得和、 差、 积、商之误差及相对误差公式
和*( )re 分别换成误r ， 求和的
各项变成绝对值。
1212122 1x e1 2x e11221222()()1()e xxeee x xxxeeexxx=+ (1-7) 121212121212121122()()()rrrrrrrrrxxe xxeexxxxe x
-8) 由以上的式(1-7)及(1-8)
可得出 (e xx121212121212112122)()()rrrrrrrrrreeeee x xeeeexeeeeex=+=++=+ (1-9) 因此， 和、 差的误差限不超过各数的误差限之和， 积、 商的相对误差限不超过各数的相对误差限之和。 例 4 设yx=， 求 y的相对误差与x的相对误差之间的关系。 解 由式(1-9)得 ( )(ln)re ydx==所以地，x的相对误差是x的相对误差的一半。
n(ln )( )nrndxne x= nx 的相对误差是x的相对误差的n倍， 特别 例 5 设对误差。
0x ， x的相对误差为 ， 求ln x的绝解 由于( )e x( )re xx ==， 即 ( )e xx=， 所以 ( )e x(ln )(ln )( )rexdxe xx=== 例 6 已测得某场地长为l的值为d 的 值 为d=*|| 0.1ddm， 试求面积s相对误差。
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于是绝对误差限 ( )(相对误
差限 *100 ,| 0.2lmm=宽，*80 ,m已 知*|ll的绝对误差与ld=解 因
,,,sdld===
由
(1-5)
其
**)110smlmd====()**0.2
,0.1
，,ldm==
知 中而
)()()2*800.21100.127sm+=
( )( )*s*****( )s270.31%||8800rssl d=== 3.2 误差定性分析 数值运算中的误差分析是一个很重要而复杂的问题， 上节讨论了不精确数据运算结果的误差限， 他只适用于简单情形， 然而一个工程或科学计算问题往往要运算千万次， 由于每步运算都有误差， 如果每步都做误差分析是不可能的， 也不科学， 因为误差积累有正有负，绝对值有大有小， 都按最坏情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多， 这种保守的误差估计不反映实际误差积累。
考虑到误差分布的随机性， 有人用概率统计方法， 将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布， 这样得到的误差估计更能接近实际， 这种方法称为概率分析法。
20 世纪 60 年代以后对舍入误差分析提出了一些新的方法， 较重要的有以下两种：
1.向后误差分析法是把新算出的量由某个 公式表达， 它仅含基本的算术运算， 如假定新算出量 (xg a=，若
是前面已算出的量或原始数据， ， ia 的摄动为i ， 使得由
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浮点运算得出结果为 则可根据xxi 的界由摄动理论
估计最后舍入误差的界， 威克逊（Wilkinson） 将这种方法fl应用于数值代数（矩阵运算） 的误差分析， 取得较好的效果。 2.区间分析法是把参加运算的数 , , ,看成区间量根据区间运算规则求得最后结果的近似值及误差限。
例如，似数为, ， 由 于x[,],xX y +=若计算*zx y=（*为运算符号）， 由[ , ][,]z zzz zz=+,则z为所求近似值， 而 z则为误差限。
上面简略介绍了误差分析的几种方法， 但都不是十分有效的， 目前尚无有效的方法对误差Y= , =Z 作出定量估计。
为了确保数值计算结果的正确性， 首先需对数值计算问题作出定性分析， 为此本节讨论以下三个问题。
3.3 病态问题与条件数 对一个数值问题本身 如果输入数据又微小扰动（即误差）， 导致输出数据（即问题解）相对误差很大， 这就是病态问题， 例如计算函数值 ( )f x 时， 若x有扰动x，函 数 值f x*xxx =， 其相对误差 为xf x*()的 相 对 误 差 为*( )f x()( )f x。
相对误差比值 *( )f x()( )( )f x( )f xpf xxxf xCx= (1-10) pC 称为计算函数值问题的条件数。
自变量相对误差一般不会太大， 如果条件数pC 很大， 将引起
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都, x y的近]+*X Y=,,y[,则
函数值相对误差很大， 出现这种情况的问题就是病态问题。 例如，( )f xx=则有npCn= ， 他表示相对误 差 可 能 放 大 n 倍 。
如(1.02)1.24f误差为 2%， 函数值相对误差为 24%， 这是问题可以认为是病态的。
一般情况条件数C 越大病态越严重。
10*n =1,，有(1)1f= ，， 若取1.02xx==自变量相对10pC 就认为是病态的，p其他计算问题也要分析是否病态。
例如解线性方程组， 如果输入数据有微小误差引起解的巨大误差， 就认为是病态方程组， 我们将在第5 章用矩阵的条件数来分析这种现象。
3.4 算法的数值稳定性 数值运算的误差分析是个很重要而复杂的问题， 对于一个工程或科学计算问题往往要运算千万次， 由于几乎每一步运算都会产生误差， 如果每步都做误差分析是不可能的， 也不科学， 因为误差累积有正有负， 绝对值有大有小， 很可能有一部分相互抵消。
如果每一步都按最坏情况估计误差不反映实际情况。
近年来， 虽然发展起来一些新的误差估计办法， 如概论统计法， 事后误差估计法及区间分析法等等。
但这些方法目前也仅仅在特定的一些问题 上取得了 较为满意的结果， 还正在发展中。
对于计算步骤较多的算法， 一般不宜采用上述的一些定量估计
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的办法。
而是采用定性分析的办法， 即讨论算法的数值稳定性。 定义 3 一个算法如果输入数据有误差， 而在计算过程中舍入误差得到控制， 则称此算法是数值稳定的， 否则称此算法是不稳定的。
在一种算法中， 如果某一步有了 绝对值为的误差， 而以后各步计算都准确地进行， 仅由 所引起的误差的绝对值， 始终不超过 ， 就说算法是稳定的。
对于数值稳定性的算法， 不用做具体的误差估计， 就认为其结果是可靠的。
而数值不稳定的算法尽量不要使用。
计误差。
若计算出例 7 计
并估
nI 的递推公式
由分部积分可得计算算
10(0,1
-11) 0I ， 代入(1-11)， 可
逐次求出
的 值。
要算出展开部分和 0I 就要先计算1e， 若用泰勒多项式
， 并取7k = ， 用 4 位小数
计算， 则得e=10.3679，截断误差14710.3679108!4R。
计算过程中小数点后第 5 位的数字按四舍五入原则舍入， 由此产生的舍入误差这里先不讨论。
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