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华南理工大学数学分析2011-2013考研解答
1. ($12'$) 求极限
$\\dps{\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt{n}\\sex{\\sqrt[4]{n^2+1}-\\sqrt{n+1}}}$.
解答: $$\\beex \\bea \\mbox{原极限} &=\\lim_{x\\to 0}\\sqrt{\\frac{1}{x}}\\sex{\\sqrt[4]{\\frac{1}{x^2}-1}-\\sqrt{\\frac{1}{x}-1}}\\\\
&=\\lim_{x\\to
0}
\\frac{\\sqrt[4]{1+x^2}-\\sqrt{1+x}}{x}\\\\ &=\\lim_{x\\to 0}
\\sez{\\frac{1}{4}(1+x^2)^{-\\frac{3}{4}}\\cdot \\frac{1}{2}(1+x)^{-\\frac{1}{2}}}\\\\
&=-\\frac{1}{2}. \\eea \\eeex$$ 2.
($12'$)
确
定
函
数
项
级
数
$\\dps{\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^2}{n}}$ 的收敛域, 并求其和函数.
解答: 由 $a_n=1/n$ 知收敛半径为 $R=1$. 又 $\\dps{\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^2}{n}}$ 当 $x=-1$
时收敛, 当 $x=1$ 时发散, 而收敛域为 $[-1,1)$. 另外, 在收敛域范围内, $$\\bex \\sum_{n=1}^\\infty
\\frac{x^2}{n}
=\\sum_{n=1}^\\infty\\int_0^xt^{n-1}\\rd
1
t =\\int_0^x
\\sum_{n=1}^\\infty
t^{n-1}\\rd t =\\int_0^x \\frac{1}{1-t}\\rd t=-\\ln (1-x). \\eex$$
3. ($12'$) 设函数 $f\\in C^2(\\bbR)$, 且 $$\\bex f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\\leq
0,\\quad\\forall\\ x\\in \\bbR,\\quad \\forall\\ h>0. \\eex$$ 证明: 对 $\\forall\\ x\\in\\bbR$,
有 $f''(x)\\leq0$. 证
明
:
由
$$\\bex
0\\geq
\\lim_{h\\to
0}\\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2} =\\lim_{h\\to
0}\\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=f''(x) \\eex$$ 即知结论.
4.
($12'$)
设
$\\beta>0$
且
$$\\bex
x_1=\\frac{1}{2}\\sex{2+\\frac{\\beta}{2}},\\quad
x_{n+1}=\\frac{1}{2}\\sex{x_n+\\frac{\\beta}{x_n}},\\ n=1,2,3,\\cdots. \\eex$$ 试证数列
$\\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. 证
明
:
(1)
$$\\bex
x_n=\\frac{1}{2}\\sex{x_{n-1}+\\frac{\\beta}{x_{n-1}}} \\geq
\\sqrt{\\beta},\\quad n=2,3,\\cdots. \\eex$$ (2) 设
2
$f(x)=(x+\\beta/x)/2$, 则
$f'(x)=(1-\\beta/x^2)/2$,
而
当
$x\\geq
\\sqrt{\\beta}$ 时, $0\\leq f'(x)<1/2$. 由此,
$\\sed{x_n}$ 为压缩数列, 是收敛的. 令 $x_n\\to \\alpha$, 则 $$\\bex
\\alpha=\\frac{1}{2}\\sex{\\alpha+\\frac{\\beta}{\\alpha}} \\ra \\alpha=\\sqrt{\\beta}.
\\eex$$ 5.
($12'$)
求
极
限
$$\\bex
x.
\\lim_{n\\to\\infty}\\int_{-\\pi/2}^0 \\eex$$ 解: 由
\\cos^nx\\rd
$$\\bex \\sev{\\int_{-\\pi/2}^0 \\cos^nx\\rd x} =\\sev{\\int_{-\\pi/2}^{-\\delta}+\\int_{-\\delta}^0 \\cos^nx\\rd x} \\leq
\\frac{\\pi}{2}\\cos^n\\delta+\\delta,\\quad (\\forall\\ 0<\\delta\\ll 1) \\eex$$ 即知原极限为
$0$.
6. ($12')$ 求极限 $$\\bex \\lim_{x\\to 0+0}\\frac{\\sin\\sqrt{x}}{\\sqrt{1+x\\tan
x-\\sqrt{\\cos x}}}. \\eex$$
解答: $$\\bex \\mbox{原极限}=\\lim_{x\\to
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