内容发布更新时间 : 2024/12/23 8:23:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第七章作业 评分要求:
1. 合计100分
2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置.
1 设R={
(4) 求R?{2,3,4,6}; (5) 求R[{3}]; 解
(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】 (2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】 (3) R?R={<3,3>, <0,4>}【2分】
(4) R?{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】 (5) R[{3}]={3}【2分】
2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明: (1)R?(F∪G)=R?F∪R?G (2)R?(F∩G)?R?F∩R?G (3)R?(F?G)=(R?F)?G.
【本题合计18分:每小题6分,证明格式正确得3分,错一步扣1分】 证明
(1)?
? ?t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义
? ?t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律 ? ?t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy) ?对∨分配律 ? x(R?F)y∨x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义 得证
(2)?
x(R?(F∩G))y
? ?t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义
? ?t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律 ? ?t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律 ? x(R?F)y∧x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义
得证
(3)?
? ?s (∈(F?G)) ?定义
? ?s (∈F∧∈F∧∈F)∧∈F)∧
3 设F={
【本题合计10分:每种性质2分----答对得1分,正确说明理由得1分】 解 F={
不具有反对称性: 反例 <2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3 不具有传递性: 反例 <2,>,<,5>∈F, 但<2,5>不属于F.
4 设A={a,b,c}, R={,}, (1) 给出R的关系矩阵;
(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)
【本题合计12分:第(1)小题2分;第(2)小题10分----答对性质得1分,说明理由得1分】 解
(1)R的关系矩阵M(R)为 0 1 1 0 0 0 0 0 0 (2)
不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1 是反自反的: M(R)的主对角线全为0 不具有对称性: M(R)不是对称的
是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1
2
是传递的: M(R)如下 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
显然满足: 如果M(R)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为1
5 设A≠?, R?A×A, 证明 (1) r(R)=R∪IA
-1
(2) s(R)=R∪R
【本题合计12分,每小题6分----证明格式正确得2分,过程错误一步扣1分】 证明
(1) 只要证明r(R)?R∪IA和R∪IA?r(R)即可 先证r(R)?R∪IA: IA?R∪IA
? R∪IA自反 (自反性的充要条件) ? r(R)?R∪IA (自反闭包的最小性) 再证R∪IA?r(R):
R?r(R)∧IA?r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件) ? R∪IA?r(R) 得证
-1-1
(2) 只要证明s(R)?R∪R及R∪R?s(R)即可
-1
先证s(R)?R∪R:
-1-1-1
(R∪R)=R∪R (理由如下: ?
-1-1
-1
?
-1
?
-1
?
-1
?
-1-1-1
所以 (R∪R)=R∪R ) -1
? R∪R是对称的 (对称性的充要条件)
-1
? s(R)?R∪R (对称闭包的最小性)
-1
再证R∪R?s(R):
-1
R?s(R) (闭包定义) ∧ R?s(R) (后者理由如下: ?
-1
?
?
-1
所以 R?s(R) )
-1
? R∪R?s(R) 得证
6 设A={a,b,c,d}, R={,,,
【本题合计8分】
解 依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】 W0=M(R)= 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
【1分】
W1= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 【1分】
W2= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 【1分】
W3= 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 【1分】
W4= 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 【1分】 即
t(R)={,,,,,,
-1
7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明R∩R是A上的等价关系. 【本题合计10分】 证明
自反性: ?x∈A,
-1-1
xRx∧xRx? x(R∩R)x【3分】 对称性: ?x,y∈A,
-1-1-1-1
x(R∩R)y? xRy∧xRy? yRx∧yRx? y(R∩R)x【3分】 传递性: ?x,y,z∈A,
-1-1-1-1
x(R∩R)y∧y(R∩R)z? xRy∧xRy∧yRz∧yRz
-1-1-1-1
? (xRy∧yRz)∧(xRy∧yRz)? xRz∧xRz? x(R∩R)z【4分】 得证.
8 设A={1,2,3,4}, 在A×A上定义二元关系R, ?,
(1)自反性: ?