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第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布

[学生用书P207])

1．事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)·P(B)． －－－－

②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率，在n次独

knk

立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n)． np(1－p)－

(3)二项分布的均值与方差

若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

3．超几何分布

(1)定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)

nk

CkMCN－M＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，nCN－

即如果随机变量X的分布列具有下表形式

X P 0 n0C0MCN－M CnN－1 n1C1MCN－M CnN－… … m nmCmMCN－M nCN－则称随机变量X服从超几何分布．

(2)均值

nM若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．

N4．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值

σ

1

； 2π

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

1．辨明两个易误点

(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．

(2)运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．

2．理解事件中常见词语的含义

(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B； (2)A，B都发生的事件为AB； －－

(3)A，B都不发生的事件为A B； －－

(4)A，B恰有一个发生的事件为AB∪AB； －－－－

(5)A，B至多一个发生的事件为AB∪AB∪A B. 3．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

1

1．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于( )

4A．0 1C. 4[答案] B

2．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( ) A．0.477 C．0.954

B．0.628 D．0.977 1

D．

2

1B．

16

C [解析] 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023， 所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.

3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A．0.648 C．0.36

B．0.432 D．0.312

2 A [解析] 3次投篮投中2次的概率为P(X＝2)＝C2投中3次的概率3×0.6×(1－0.6)，2

为P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝C3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝

0.648.故选A.

4.教材习题改编 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．

444

[解析] 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有669545

10，?，一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B?9??99550

E(X)＝10×＝.

99

[答案]

50 9

11

5.教材习题改编 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假34定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

－－

[解析] 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A B)

111－－

1－??1－?＝， ＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝??3??4?2

甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概11－－

率为1－P(A B)＝1－＝. 22

1

[答案]

2

相互独立事件的概率[学生用书P208]

[典例引领]

(2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、

乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，3

则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每

42

轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”

3参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

【解】 由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111

P(X＝0)＝×××＝，

4343144

31111211

P(X＝1)＝2×(×××＋×××)

43434343105＝＝， 14472

313131121231121225

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

434343434343434314432111132121

P(X＝3)＝×××＋×××＝＝.

434343431441232313212605

P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＝＝，

43434343144123232361

P(X＝6)＝×××＝＝. 43431444可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 1 1445 7225 1441 125 121 4152515123

所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 14472144121246

利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．

(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．

(3)代入概率的积、和公式求解．

(2017·开封市第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，

此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

产量(吨) 概率

市场价格(万元/吨) 概率 0.6 0.4 1 0.6 30 0.5 50 0.5 (1)设X表示1个生产周期此产品的利润，求X的分布列；

(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．

[解] (1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，

因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X的所有值为

50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，

－－

则P(X＝30)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

－－

P(X＝10)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，