内容发布更新时间 : 2024/12/27 15:12:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一篇 集合与不等式 专题1.03 等式与不等式的性质

【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法 ?a－b>0?a>b，(1)作差法?

?a－b＝0?a＝b，?

?a－b<0?a

?a

b

>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），(2)作商法??a

b＝1?a＝b（a，b≠0），

??ab

<1（a∈R，b>0）?a0）.2.等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. 3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0?na＞nb(n∈N，n≥2). 【微点提醒】

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变. 2.有关分数的性质

(1)若a>b>0，m>0，则bb＋mbb－m

aa－m(b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b?11

a

【疑误辨析】

1

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b?ac2＞bc2.( ) (2)a＝b?ac＝bc.( ) a

(3)若>1，则a>b.( )

b

111

(4)0

bxa【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

【解析】 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞b?ac2＞bc2. (2)由等式的性质，a＝b?ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc不能推出a＝b a

(3)a＝－3，b＝－1，则>1，但a

b【教材衍化】

2.(必修5P74例1改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) abA.＞ dcabC.＞ cd【答案】 B

1111

【解析】 因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质

cddcabab

可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜. dcdc

3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋14. 【答案】 >

【解析】 (7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242， ∴(7＋10)2>(3＋14)2，∴7＋10>3＋14. 【真题体验】

4.(2018·衡阳联考)若a，b，c为实数，且a

C.> ab

【答案】 D

11b－abab2－a2（b＋a）（b－a）

【解析】 c＝0时，A项不成立；－＝>0，选项B错；－＝＝<0，选项C

ababababab错.由aab>b2.D正确.

2

ab

B.＜ dcabD.＜ cd

11B.< abD.a2>ab>b2

5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________.

【答案】 －1，－2，－3(答案不唯一)

【解析】 因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.所以a＋b>c不一定正确.因为2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2c

22【答案】 (－π，0)

ππππ

【解析】 由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.

2222【考点聚焦】

考点一 比较两个数(式)的大小

【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( ) A.c≥b>a C.c>b>a

B.a>c≥b D.a>c>b

(2)已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A.M

B.M>N D.不确定

ln 3ln 4ln 5

(3)(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则( )

345A.a

B.c

【答案】 (1)A (2)B (3)B 【解析】

(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝13

a－?＋>0，∴b>a，∴c≥b>a. a2－a＋1＝??2?4

(2)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，

又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N. b3ln 4b5ln 4

(3)法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝

a4ln 3c4ln 5log6251 024>1，所以b>c.即c

1－ln xln x

法二 构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，

xx2由f′(x)>0，得0e. ∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数. ∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.

3

2