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立身以立学为先，立学以读书为本

第7讲 二次函数解析式的求法及最值

一、知识梳理：

知识点1、二次函数的三种表达形式

（1）、一般式：

：

y?ax2?bx?c ?a?0? 如：y?? 2x2?3x?422（2）、顶点式：y?a?x?x0??y0 ?a?0? 如：y??2?x?3 ??5（3）、交点式（分解式）：y?a知识点二：二次函数的最值：

1、y??2?x?3??5，当x? 时，y有最 值是 ； 2、y?3x2?6x?7，当x? 时，y有最 值是 ； 3、y??3?x?1??x?5?，当x? 时，y有最 值是 ；

知识点三：利用二次函数研究“最大利润”：

利用二次函数解决实际问题中的最值问题（如最大利润）的步骤为：

（1）分析题意，设出自变量x，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式； （2）利用公式法或者配方法求出其最大（小）值； （3）结合相关问题写出结果。

2?x?x1??x?x2? ?a?0? 如：y??3?x?2??x?4?

二、精典题型例析：

考点一：已知图象过一般的三个点的坐标，求解析式： 例1、 已知二次函数的图象经过A（－1,0）、B（1,6）、C（－2,3）三点，求二次函数的 解析式。

变形练习：已知二次函数的图象经过A（－1,4）、B（1,0）、C（－2,3）三点，求二次函数的解析式。

考点二、已知图象顶点的坐标或对称轴，求解析式：

例2、（2012无锡）若抛物线y=ax+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求抛物线的函数关系式

变形练习：已知二次函数的最大值是5，其图象的对称轴为直线x=2，且与y轴相交的点的纵坐标为-3，求此二次函数的解析式。

2

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考点三、已知图象与X轴的交点坐标，求解析式：

例3、已知抛物线y?ax2?bx?c经过点（－2，0），（4，0）和（0，3），求二次函数的解析式。

变形练习：1、 已知抛物线y?ax2?bx?c经过点（－2，0），（0，1），且对称轴是x?1， 求二次函数的解析式。

2、已知抛物线y=x-kx+k+1, 根据下列条件，求k的值。

（1） 顶点在x轴上,则K=_____； （2） 顶点在y轴上,则K=_____；

（3） 抛物线在y轴上的截距为-2,则K=_____；（4） 抛物线过点（-1，-2），则K=_____；

（5） 抛物线过原点,则K=_____； （6） 当x=-1时，函数有最小值,则_____； （7） 抛物线的最小值为-1,则K=_____；（8） 抛物线在x轴上截得的线段为1,则K=_____。

考点四、已知图象求解析式

例4.（2007贵阳）二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图1所示，求函数的解析式。

y

3

2

1

2 3 4 x ?1O ?1

?2

221y 变式练习：（2007河北省）如图2，已知二次函数y?ax2?4x?c的图像经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0）， 且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．

－ 1 O －3 A 1 x －9

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考点五、求二次函数的最值

例5．求二次函数y?x2?2x?3的最值。（用两种方法）

变式训练：1、求自变量在一定范围内的二次函数的最值

分别在下列范围内求函数y?x2?2x?3的最小值和最大值。

（1）0?x?2 （2）2?x?3 （3）?3?x?0

2、（2012·湖南省张家界市·25题·12分）.如图，抛物线

y??x2?53x?2与x轴交于C、3A两点，与y轴交于点B，OB=2点O关于直线AB的对称点为D. （1） 分别求出点A、点B的坐标 （2） 求直线AB的解析式 （3） 若反比例函数y?k的图像过点D，求k值. x（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动

1个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最2大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.

y

D

P

2 B O Q AC x