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变力做功的几种求解方法

作者：王世臣

来源：《读写算》2011年第08期

【摘 要】《机械能》一章的教学中，经常涉及变力做功的问题，当F是变力时，该怎样求功呢？本文就如何求变力做功谈一点体会。 【关键词】变力做功 恒力做功 动能定理

在《机械能》一章的教学中，经常涉及变力做功的问题，而有些同学老是想着用公式W=Fscosα来求解，在求功公式W=Fscosα中，F是恒力，即在做功过程中，F的大小、方向都不变。当F是变力时，该怎样求功呢？下面本人就如何求变力做功谈一点体会。 1. 转化为恒力做功

在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用W=Fscosα求解。

例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。 图1

【解析】拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为： 所以绳对物体做功： 2.用动能定理或功能关系求解

求解变力做功的方法很多，而用动能定理求是最常用的方法之一。

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例2.如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为5 cm的粗糙半球内表面由静止开始下滑，到达最低点C时的速度为8m/s，求物体从A到C的过程中，摩擦力所做的功是多少？（g取10m/s2）

【解析】物体由A滑到C的过程中，根据牛顿第二定律： N-mgcosθ=m

所以N= mgcosθ+ m由此可看出弹力N是个变力，而由于摩擦力=μN=μ（mgcosθ+m），摩擦力也是个变力，而此力所做的功显然不能用公式W=Fscosα来做，但我们用动能定理却很方便的将之求出。

根据动能定理有：mgR+Wf=-0可得物体从A滑到C的过程中，摩擦力所做的功为：Wf=-mgR=2×10×5=-36J 当然此题也可以用功能关系做，根据功能关系，物体克服摩擦力所做的功等于物体减少的机械能。-Wf=mgR-所以摩擦力所做的功为Wf=-mgR= -36J 3.用平均值求解

如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。

例3.用锤子把铁钉钉入木块中，设每次打击时，锤子对铁钉做的功都相同，铁钉进入木块所受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子第一次被钉入的深度为2cm，求第二次打击后可再进入几cm?

【解析】由于力F与深度s成正比，而在本例中位移即深度，力F与位移s满足线性关系，故每次锤子打击铁钉所做的功可以用公式W=来计算。第一次打击时锤子对铁钉做的功W1=s1，而第二次做的功W2=(s2- s1)，设F=ks,那么 = =根据题意W1=W2

解得：s2=s1 Δs= s2- s1=(-1)s1=2(-1)cm 4.用图象法

在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。

例4.放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。

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【解析】由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即 5.用求解

利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。

例5. 质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。

【解析】汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功 再由动能定理得： 所以

6.用微元法求解

例6.用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知滑块与轨道间动摩擦因数为μ，滑块质量为m，求此过程中摩擦力做的功。

【解析】由题意知，物体受的摩擦力在整个过程中大小F=μmg不变、方向时刻变化，是变力。如果我们把整个圆周分割为无数个小微元段，每一小段可近似看成小直线段，在每一小段上摩擦力方向不变，于是在每一小段上摩擦力做的功都可以用恒力做功的公式计算，然后将各微元段上力所做的功累加起来，便可求得最终的结果。如图，把圆轨道分成s1、s2、s3、……、sn微小段，摩擦力在每一段上为恒力则在每一段上做的功W1=—μmg s1，W2=—μmg s2，W3=—μmg s3，……，Wn=—μmg sn，那么摩擦力在物体运动一周的过程中对物体所做的功为W=W1+W2+W3+……+Wn= —μmg（s1+s2+s3+……+sn）= —μmg·2πR,所以滑块运动一周摩擦力做功为—2μmgπR。