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高考数学试题新亮点——类比推理题

市五中 梅安源

“多考一点想，少考一点算”，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。

类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有一个另外的性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。因此求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项。换言之，不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联。

一、 数列中的类比推理 例1 （2000年上海卷）在等差数列?an?中，若a10?0，则有等式a1?a2?????an

?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列?bn?中，若b9?1，则有等式 成立.

分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若m,n,p,q?N*,且

m?n?p?q,则am?an?ap?aq）；

等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若m,n,p,q?N*,且

m?n?p?q,则am?an?ap?aq）.

由此，猜测本题的答案为：b1b2???bn?b1b2???b17?n(n?17,n?N*).

事实上，对等差数列?an?，如果ak?0，则an?1?a2k?1?n?an?2?a2k?2?n????

?ak?ak?0. 所以有：a1?a2?????an?a1?a2?????an?(an?1?an?2?????

a2k?2?n?a2k?1?n）（n?2k?1,n?N*）.从而对等比数列?bn?，如果bk?1，则有等式：

b1b2???bn?b1b2???b2k?1?n(n?2k?1,n?N*)成立.

评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列?an?而得到等比数列?bn?的新的一般性的结论。

例2 （2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.

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已知数列?an?是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .

分析 由等和数列的定义，易知a2n?1?2，a2n?3（n=1，2，…），故a18?3.

551n；当n为奇数时，Sn?n?. 222 评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

二、 函数中的类比推理

当n为偶数时，Sn?例3（2003年上海春招高考题）设函数f(x)?12?2x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，

可求得f(?4)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值为 .

分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算f(x)?f(1?x)： ?f(x)?12?21f(1?x)?121?x?2?2x2?2?2x1?2x?x，

?2， x2?2?2x1??f(x)?f(1?x)?22?2x2， 2发现f(x)?f(1?x)正好是一个定值， ?2S?2?12，?S?32. 2评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。 例4 （2003年上海春招高考题）已知函数f(x)?（1） 证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间.

（2） 分别计算f(4)?5f(2)g(2)和f(9)?5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

x?x513?13，g(x)?x?x513?13.

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分析 （1）略； （2）分别计算得f(4)?5f(2)g(2)和f(9)?5f(3)g(3)的值都为零，由此概括出对所有不等于零的实数x有：f(x2)?5f(x)?g(x)?0.如果将式子

f(x2)?5f(x)?g(x)?0中的5改成字母?(??0)，可进一步推广f(x2)??f(x)?g(x)?0.

评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。”

三、排列组合中的类比推理

x(x?1)???(x?m?1)m0?例5 （2002年上海高考题）规定：Cx，其中x?R，m是正整数，且Cx?1，

m!m这是组合数Cn(n,m是正整数，且m?n)的一种推广.

5（1） 求C?15的值；

mn?mmm?1mm（2） 组合数的两个性质（Cn）是否都能推广到?Cn,Cn?Cn?CnC?1x

（x?R,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

mm （3）已知组合数Cn是正整数，证明：当x?Z，m是正整数时，Cx?Z.

mm分析 本题“新的规定Cx（x?R,m是正整数）”是组合数Cn（n,m是正整数，且m?n）的一种推广.

这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力. 解：（1）根据新规定直接进行演算即可

(?15)(?16)(?17)(?18)(?19)5C????11628. 155!（2）性质①不能推广.反例：当x?2,m?1时，C12有意义，但C广形式不变：

mm?1mCx?Cx?Cx?1(x?R,m是正整数）.

2?12无意义.性质②能推广，且推

证明如下：

mm?1Cx?Cx?x(x?1)(x?2)???(x?m?1)x(x?1)(x?2)???(x?m?2)?

m!(m?1)!x(x?1)(x?2)???(x?m?2)?(x?1)

m!1m=?(x?1)?(x?1)?1??(x?1)?2?????(x?1)?m?1?=Cx?1 m!（3）需要就x与m的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.

=

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