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--------在--------------------此-------------------卷 ___________-------------------__上号证考准 -------------------- _答____________-------------------__题_名姓--------------------无------------------效---------- 绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）

理科数学

使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1．设集合A={x|x2?4x?3?0}，B?{x|2x?3?0}，则AB?

（ ） A．(?3,?332)

B．(?3,2)

C．(1,32)

D．(32,3)

2．设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则|x?yi|?

（ ）

A．1 B．2 C．3

D．2

3．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10?8，则a100?

（ ）

A．100

B．99 C．98 D．97

数学试卷 第1页（共21页）

4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（ ）

A．13 B．

12 C．23

D．34

5．已知方程

x22m2?n?y3m2?n?1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取

值范围是

（ ）

A．(?1,3)

B．(?1,3)

C．(0,3)

D．(0,3)

6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

28?3，则它的表面积是 （ ）

A．17? B．18? C．20?

D．28?

7．函数y?2x2?e|x|在[?2,2]的图象大致为

（ ）

A

B

C D 8. 若a?b?0，0?c?1，则

（ ）

A．ac?bc

B．abc?bac C．alogbc?blogac

D．logac?logbc

数学试卷 第2页（共21页） 9．执行右面的程序框图，如果输入的x?0，y?1，n?1，则输出x，y的值满足（ ）

A．y?2x B．y?3x C．y?4x

D．y?5x

10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知

|AB|?42，|DE|?25，则C的焦点到准线的距离为

（ ）

A．2 B．4 C．6

D．8

11．平面?过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，

?//平面CB1D1，?平面ABCD=m，

?平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为

（ ）

A．32 B．22 C．33

D．13

12．已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,|?≤?2|)，x???4为f(x)的零点，x??4为y?f(x)图象的对称轴，且f(x)在(?18,5?36)单调，则?的最大值为

（ ）

A．11 B．9 C．7

D．5

数学试卷 第3页（共21页）

第II卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13．设向量a?(m,1)，b?(1,2)，且|a?b|2?|a|2?|b|2，则m? ． 14．(2x?x)5的展开式中，x3的系数是 （用数字填写答案）．

15．设等比数列{an}满足a1?a3?10，a2?a4?5，则a1a2…an的最大值为 ． 16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲

材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB?bcosA)?c． （Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c?7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．

18．（本小题满分12分）

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，

?AFD?90，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF?平面EFDC； C（Ⅱ）求二面角E?BC?A的余弦值． D

EB FA

数学试卷 第4页（共21页） 19．（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的 频数频率代替1台机器更换的易损零件数 40发生的概率，记X表示2台机器三年 20内共需更换的易损零件数，n表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列；

0891011更换的易损零件数（Ⅱ）若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

20．（本小题满分12分）

设圆x2?y2?2x?15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，

D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

（Ⅰ）证明|EA|?|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2．

数学试卷 第5页（共21页） 请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4?1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，?AOB?120.以O为圆心，12OA为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.

23．（本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，曲线C?x?acost,1的参数方程为?y?1?asint,（t为参数，a?0）.在以

?坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??4cos?. （Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为???0，其中?0满足tan?0?2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

24．（本小题满分10分），选修4?5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?1|?|2x?3|. （Ⅰ）在图中画出y?f(x)的图象； （Ⅱ）求不等式|f(x)|?1的解集.

数学试卷 第6页（共21页）

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）

理科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】D

【解析】A??xx2?4x?3?0???x1?x?3?，B??x2x?3?0????3??xx?2?，故?AB???x3?2??x?．3 ??【提示】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案． 【考点】交集及其运算 2.【答案】B 【解析】(1?i)x?1?yi，?x?xi?1?yi，即??x?1?x?1?x?y，解得?，即x?yi?1?i?2．

?y?1【提示】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【考点】复数求模 3.【答案】C 【解析】等差数列{an}前9项的和为27，S9(a1?a9)9?2a9?2?52?9a5，?9a5?27，a5?3，又a10?8，?d?1，?a100?a10?90d?98． 【提示】根据已知可得a5?3，进而求出公差，可得答案． 【考点】等差数列的性质 4.【答案】B 【解析】设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P?20140?2． 【提示】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【考点】几何概型 5.【答案】A 数学试卷 第7页（共21页）

【解析】双曲线两焦点间的距离为4，?c?2，当焦点在x轴上时，可得4?(m2?n)?(3m2?n)，解得m2?1，方程x2y2m2?n?3m2?n?1表示双曲线，?(m2?n)(3m2?n)?0，可得(n?1)(3?n)?0，解得?1?n?3，即n的取值范围是(?1,3)，当焦点在y轴上时，可得?4?(m2?n)?(3m2?n)，解得m2??1，无解． 【提示】由已知可得c?2，利用4?(m2?n)?(3m2?n)，解得m2?1，又(m2?n)(3m2?n)?0，从而可求n的取值范围． 【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】A 【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图： 可得78?428π713πR3?3，R?2，它的表面积是8?4π?22+3?4π?22=17π． 【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积． 【考点】由三视图求面积、体积 7.【答案】D 【解析】f(x)?y?2x2?e|x|，?f(?x)?2(?x)2?e|?x|?2x2?e|x|，故函数为偶函数，当x??2时，y?8?e2?(0,1)，故排除A，B；当x?[0,2]时，f(x)?y?2x2?ex，?f?(x)?4x?ex?0有解，故函数y?2x2?e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C． 【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答． 【考点】函数的图象 8.【答案】C 【解析】a?b?1，0?c?1，?函数y?xc在(0,??)上为增函数，故ac?bc，故A错数学试卷 第8页（共21页） 误；函数y?xc?1在(1,??)上为减函数，故ac?1?bc?1，故bac?abc，故B错误；logac?0，且loglogcblogabc?0，logab?1，即log?c?1，即logac?logbc，故D错误；aalogbc0??logac??logbc，故?blogac??alogbc，即blogac?alogbc，即alogbc?blogac，故C正确． 【提示】根据已知中a?b?1，0?c?1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案． 【考点】不等式比较大小，对数值大小的比较 9.【答案】C 【解析】输入x?0，y?1，n?1，则x?0，y?1，不满足x2?y2?36，故n?2，则x?12，y?2，不满足x2?y2?36，故n?3，则x?32，y?6，满足x2?y2?36，故y?4x． 【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【考点】程序框图 10.【答案】B 【解析】设抛物线为y2?2px，如图：AB?42，AM?22，DE?25，DN?5，ON?p(22)216p2，xA?2p?42p，OD?OA，p2?8?4?5，解得p?4，C的焦点到准线的距离为4． 【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质 11.【答案】A 【解析】如图，?∥平面CB1D1，?平面ABCD?m，?平面ABA1B1?n，可知：

数学试卷 第9页（共21页）