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2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分） 1.设an?(?1)?sin2.设f(x)??n

n?,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；

n??n??4?x, x为有理数 x?R,则f(x)在x?____处连续；??x, x为无理数3.limxndx?_____; ?n??01?x14.lim(sinx?cosx)?_________;

x?01x5.方程x?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In?2dx?(x2?a2)n(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?_________________;7.设u(x,y)??sinx?cosy0f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;

8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;

9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sinx?________________________; 10.曲线x?acost,y?asint,0?t?2?的弧长s=___________________.

二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或

x???332

最小值.

三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x?y?z?yf()所确定，其中f是可微函数，试证：

222zy(x2?y2?z2)

?z?z?2xy?2xz. ?x?y四、（12分）求极限：lim(n??12n????).

n2?n?1n2?n?2n2?2n

（a?1）?(b?1)五、（12分）已知a,b为实数，且1

lnblna.

六、(12分)计算曲面积分：I?的外侧.

七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,

?

22223x?y?z?1其中S是球面xdydz?ydzdx?zdxdy.??S?un?1?n(x)在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证

明：

?un?1n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).