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2009年华南师范大学数学分析

一、(20分)

设limf(x)???,limg(x)?A,这里a,A?R.用???语言证明x?ax?a

lim[f(x)?g(x)]???.x?a

二、(15分)设数列?xn?无上界。试证明存在?xn?的子列xnk满足limxnk???。

k????

kx,x?0??三、(20分)设f(x)?1?x,F(x)??1 ，这里k?R,求函数

?,x?0??xG(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G的单调性。

2

四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分：

?2u1、u?(xy),求；

?x?zz

2、设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。

五、(15分)求圆锥面z2?x2?y2在圆柱体x2?y2?x内的那一部分面积。

六、(20分)计算曲线积分I??x?yx?ydx?dy,其中L是从点A(?a,0)经过上

Lx2?y2x2?y2x2y2半椭圆2?2?1(y?0)到点(a,0)的弧段，这里a?0,b?0。

ab

七、(20分)设正项级数?an发散,an?M.令Sn??ak.

n?1k?1?n

????dxan?1an?an?1a?????; 2).?收敛； 3).?n发散。 求证：1).?a1xSnn?1Snn?1n?1Sn?

八、(20分)设?是区间I上定义的函数族。若

???0,???0,当x1,x2?I且x1?x2??时，对所有f??,都有f(x1)?f(x2)??，则称函数族?在区间I上等度连续。

设函数列?fn(x)?各项在[a,b]上连续，且?fn(x)?在[a,b]上一致收敛于函数f(x),

证明：函数列?fn(x)?在[a,b]上等度连续。

2010年华南师范大学数学分析

xn1.已知y?，求对y进行n阶求导得到的公式。

1?x

(1?n)n2.已知?p?n(p?0)，求p取不同值的敛散性。

n

3.已知f(x)?x?x?f(t)dt?2?f(t)dt，求f(x)的值。

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