精选圆相关压轴题及答案详解 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 15:59:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

精选圆相关压轴题参考答案与试题解析

1.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB点F,连接BE.

(1)求证:AC平分∠DAB; (2)求证:PC=PF;

(3)若tan∠ABC=,AB=14,求线段PC的长.

【考点】MR:圆的综合题.

【分析】(1)由PD切⊙O于点C,AD与过点C的切线垂直,易证得OC∥AD,继而证得AC平分∠DAB;

(2)由条件可得∠BCP=∠CAB,∠BCF=∠ACF,结合外角性质可得∠PCF=∠PFC,即可证得PC=PF;

(3)易证△PAC∽△PCB,由相似三角形的性质可得到ABC=,所以可得

,进而可得到

,又因为tan∠

,设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC

中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,进而可建立关于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的长.

【解答】(1)证明:∵PD切⊙O于点C, ∴OC⊥PD, 又∵AD⊥PD, ∴OC∥AD, ∴∠ACO=∠DAC. ∵OC=OA,

第1页(共124页)

∴∠ACO=∠CAO, ∴∠DAC=∠CAO, 即AC平分∠DAB; (2)证明:∵AD⊥PD, ∴∠DAC+∠ACD=90°. 又∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∴∠PCB+∠ACD=90°, ∴∠DAC=∠PCB. 又∵∠DAC=∠CAO, ∴∠CAO=∠PCB. ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACF=∠BCF,

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF, ∴∠PFC=∠PCF, ∴PC=PF;

(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P, ∴△PAC∽△PCB, ∴

又∵tan∠ABC=, ∴∴

, ,

设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7, ∵PC2+OC2=OP2,

∴(4k)2+72=(3k+7)2, ∴k=6 (k=0不合题意,舍去). ∴PC=4k=4×6=24.

第2页(共124页)

【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目,用到的知识点有:切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,是一道不错的中考题题目.

2.已知△ABC中,BC=5,以BC为直径的⊙O交AB边于点D. (1)如图1,连接CD,则∠BDC的度数为 90° ; (2)如图2,若AC与⊙O相切,且AC=BC,求BD的长; (3)如图3,若∠A=45°,且AB=7,求BD的长.

【考点】MR:圆的综合题.

【分析】(1)如图1,只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题; (2)如图2,连接CD,根据条件可得△ACB是等腰直角三角形,从而得到∠B=45°,再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形,然后运用勾股定理就可解决问题;

(3)如图3,连接CD,根据条件可得△ADC是等腰直角三角形,从而得到DA=DC,设BD=x,然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题. 【解答】解:(1)如图1,

第3页(共124页)