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吉林省吉林市第一中学校高一数学必修四第三章第2节《同角三角函数

的基本关系式1》教案 新人教A版

（一）复习：

1．任意角的三角函数定义：

设角?是一个任意角，?终边上任意一点P(x,y)， 它与原点的距离为r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么：

xryxyrsin??，cos??，tan??，cot??，sec??，csc??．

yyrrxx

（二）新课讲解：

1．同角三角函数关系式：

（1）倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1．

sin?cos?． ?tan?，cot??cos?sin?222222（3）平方关系：sin??cos??1，1?tan??sec?，1?cot??csc?．

（2）商数关系：

说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin4??cos4??1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan??cot??1(??22k?,k?Z)； 2③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos???1?sin2?， sin2??1?cos2?， cos??

2．例题分析： 例1．（1）已知sin??（2）已知cos???sin?等。 tan?12，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?． 134，求sin?,tan?． 522解：（1）∵sin??cos??1，

1225222∴cos??1?sin??1?()?()，

1313

1

又∵?是第二象限角， ∴cos??0，即有cos???5，从而 13sin?1215tan????， cot????．

cos?5tan?1222

（2）∵sin??cos??1， ∴sin??1?cos??1?(?)?()，

224523524?0， ∴?在第二或三象限角。 53sin?3当?在第二象限时，即有sin??0，从而sin??，tan????；

5cos?43sin?3当?在第四象限时，即有sin??0，从而sin???，tan???．

5cos?4又∵cos???总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，

确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2．已知tan?为非零实数，用tan?表示sin?,cos?． 解：∵sin2??cos2??1，tan??222sin?， cos?22∴(cos??tan?)?cos??cos?(1?tan?)?1，即有cos??又∵tan?为非零实数，∴?为象限角。

1， 21?tan?11?tan2?当?在第一、四象限时，即有cos??0，从而cos??， ?1?tan2?1?tan2?tan?1?tan2? sin??tan??cos??；

1?tan2?11?tan2?当?在第二、三象限时，即有cos??0，从而cos???， ??221?tan?1?tan?tan?1?tan2? sin??tan??cos???．

1?tan2?

例3．已知cot??m（m?0），求cos? 解： ∵cot??cos?cos?， 即sin??， sin?cot?22又∵sin??cos??1，

cos2?1m212222?cos??cos?(1?)?1，即cos?(1?2)?1，cos??∴， 2cot2?cot2?1?mm2

又∵m?0，∴?为象限角。

m2当?在第一、四象限时，即有cos??0，cos??； 2m?1m2当?在第二、三象限时，即有cos??0，cos???． 2m?13．总结解题的一般步骤：

①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）； ②根据同角三角函数的关系式求值。

五．课堂练习：第27页 练习1，2，3，4

六．小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。

七．作业：习题4.4 第1（1）（3），3，4题 补充：《数学之友》第174页 A组 第3题；C组第1，4题。

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