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新 概 念 力 学 习 题 集 第 45 页

u乙(x?20,t?0)?Acos(2??u?u甲?u乙?Acos[2?(10????乙)?Acos?乙??A?cos?乙??1,?乙??

txtx?)]?Acos[2?(?)??]T?T? 是驻波. txt ?2Asin2?sin?2Asin2?sin?xT?TAB上不动点即为波节nx?n?,?x?0,1,2,?

即x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20共21个点.

6-36 在同一直线上相向传播的两列同频同幅的波，甲波在A点是波峰时乙波在B点是波谷，A、B两点相距20.0m．已知两波的频率为100Hz，波速为200m/s，求AB联线上静止不动点的位置。 解:??gk?rk3?,c??k?grk ?k?dw1? 群速: vg?dk2dc1?dk211g/k?rk/?(?(g?3rk2?)??g?3rk22?gk??rk

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令

g/k?rk/?gr?)?0?k?2?k?gr 此时,vg?12g?2gk?2gk?2g?(g?3g)???2?? ???c 32??k?kgk?rk/?kg?gkk? ∴相速在vg=c时有极小值,也是最小值. (cmin?vg|?gr?2(rg?)).

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6-37 利用表面张力波的色散关系(6.95)式求其群速，并证明相速等于群速时相速最小。 解:(1)

2??x???6,?x?AB?2cm?

波长??12?x?12?2?24cm 波速 c?v??10?24?240cm/s

(2)A、B处的波长变为?''???vsT?24?40/10?20cm. B点比A点的相位落后:???2??x2??2??? ?'205

6-38 (1)沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2cm的A、B两点中B点相位落后?/6．已知振源的频率为10Hz，求波长与波速。(2)若波源以40cmm/s的速度向着A运动，B点的相位将比A点落后多少?

6-39 两个观察者A和B携带频率均为1000Hz的声源。如果A静止，B以10m/s的速率向A运动，A和B听到的拍频是多少？设声速为340m/s．

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解: v0=1000Hz,c=340m/s.

(1) A为观察者:vA=v0=1000Hz.vB?A?c34034v0??1000?v0 c?vs340?1033A听到的拍频为?vA?vB?A?vA?(34?1)?1000?30.3Hz 33或 ??A?2??vA?60.6?rad/s (2) B为观察者:vB=v0=1000Hz.vA?B?c?vD340?1035v0?v0?v0 c34034 B听到的拍频为?vB?vA?B?vB?(35?1)?1000?29.4Hz 34 或??B?2??vB?58.8?rad/s

6-40 一音叉以2.5m/s的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz，求音叉振动的频率。已知声速340m/s． 解:v待求,c=340m/s,vs=2.5m/s.v'?ccv,v\?v. c?vsc?vsv\?v'?

2cvvcvcv??2s2??v拍?3c?vsc?vsc?vsc?v340?2.5?v拍??3?204Hz2cvs2?340?2.522s22

?v?

6-41 装于海底的超声波探测器发出一束频率为3000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为以240的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s.

解:v=30000Hz,c=1500m/s,Δv拍=241Hz.v'?c?vcc?vv,v\?v'?v vc?vc?vv\?v??v拍241c?v2vc??1500?6m/s v?v?v??v拍?v?2v??v拍2?30000?241c?vc?v这就是潜水艇的速率.

6-42 求速度为声速的1.5倍的飞行物艏波的马赫角。 解:马赫锥半顶角??arcsin

cc?arcsin?41.8? vs1.5c新 概 念 力 学 习 题 集 第 47 页

第七章 万有引力

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7-1 试由月球绕地球运行的周期(T = 27.3天)和轨道半径(r = 3.85×10km)来确定地球的

质量ME。设轨道为圆形。 这样计算的结果与标准数据比较似乎偏大了一些，为什么？

4?23解：M?r?6,06?1024 2GT

7-2 在伴星的质量与主星相比不可忽略的条件下，利用圆轨道推导严格的开普勒常量的公式。

r3G解：K?2?(M?m) 2T4?

7-3 我们考虑过月球绕地球的轨道问题，把地心看作一固定点而围绕着它运动。然而实际上

地球和月球是绕着它们的共同质心转动的。如果月球的质量与地球相比可以忽略，一个月要多长？已知地球的质量是月球的81倍。 解：T'?TM?m81m?m?27.3?27.5 M81m

7-4 众所周知，四个内层行星和五个外层行星之间的空隙由小行星带占据,而不是第十个行

星占据。这小行星带延伸范围的轨道半径约为从2.5 AU到3.0 AU．试计算相应的周期范围，用地球年的倍数表示。 解：a1 = 2.5 AU : T1?(a1/a)3/2T?3.95y ; a2 = 3.0AU : T2?(a2/a)3/2T?5.18y .

7-5 已知引力常量G、地球年的长短以及太阳的直径对地球的张角约为0.55°的事实，试计

算太阳的平均密度。 解：??24?33kg/m . ?1.29?1023GT? 7-6 证明在接近一星球表面的圆形轨道中运动的一个粒子的周期只与引力常量G和星球的平

均密度有关。对于平均密度等于水的密度的星球(木星差不多与此情况相应)，推算此周期之值。

4?23r,r?R,及解：由T?GM2M???4?3R, 得 T?33?1?. G??

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7-7 已知火星的平均直径为6900 km，地球的平均直径为1.3×10 km， 火星质量约为地球

质量的0.11倍。试求： (1) 火星的平均密度ρM与地球密度ρ (2) 火星表面的g值。

E之比；

2?MMMdE3MMdE???0.74; (2) gM?gE?0.207gE?2.03m/s2 . 解：(1) 32?EMEdMMEdM

7-8 计划放一个处于圆形轨道、 周期为2小时的地球卫星。 (1) 这个卫星必须离地表面多高？ (2) 如果它的轨道处于地球的赤道平面内，而且与地球的转动方向相同，在赤道海平面

的一给定地方能够连续看到这颗卫星的时间有多长？

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解：(1)

h?r?R?3GMT26?R?1.69?104?2m ; (2)

t?2arccos(R/r)?2.63?102s.

??7-9 要把一个卫星置于地球的同步圆形轨道上，卫星的动力供应预期能维持10年，如果在

卫星的生存期内向东或向西的最大容许漂移为10°，它的轨道半径的误差限度是多少？ 解：同步卫星圆形轨道的半径 r?3GM?210?4.23?107m , 容许的半径误差为

2r??2?4.23?107?r????3?310?365?24?60?60?214m .

2?24?60?60 7-10 为了研究木星的大气低层中的著名“大红斑”，把一个卫星放置在绕木星的同步圆形轨

道上，这卫星将在木星表面上方多高的地方？ 木星自转的周期为9.6小时，它的质量MJ 约为地球质量的320倍，半径RJ 约为地球半径的11倍。 解：h?r?R木?3GM木T4?2?R木?8.77?107m .

7-11 一质量为M的行星同一个质量为M/10的卫星由互相间的引力吸引使它们保持在一起，

并绕着它们的不动质心在一圆形轨道上转，它们的中心之间的距离是D， (1) 这一轨道运动的周期有多长？

(2) 在总的动能中，卫星所占比例有多少？忽略行星和卫星绕它们自轴的任何自转。 解

：

2(1)

2T?2?Dr2C10D?2?DGM11GM; (2)

mv2/2v210??. 222211Mv1/2?mv2/210v1?v2

7-12 哈雷彗星绕日运动的周期为76年，试估算它的远日点到太阳的距离。

GMST21/31414r?2a?5.38?10（）?2.69?10解：轨道椭圆长轴 a? m , 远日点 m . ?24?

7-13 在卡文迪许实验中(见图7-10)，设M 与 m的中心都在同一圆周上，两个大球分别处

于同一直径的两端，各与近处小球的球心距离为 r = 10.0 cm， 轻杆长l = 50.0 cm，

-3

M = 10.0 kg， m = 10.0 g，悬杆的角偏转θ= 3.96×10rad， 悬丝的扭转常量D = 8.34

-8 22

×10kg·m/s , 求G .

Dr2??6.61?10?11m3/kg.s2 . 解：G?Mml

7-14 在可缩回的圆珠笔中弹簧的松弛长度为3 cm，弹簧的劲度系数大概是0.05 N/m． 设

想有两个各为10.000 kg的铅球，放在无摩擦的面上，使得一个这样的弹簧在非压缩状态下嵌入它们的最近两点之间。

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(1) 这两个球的引力吸引将使弹簧压缩多少？铅的密度约11000 kg/m .

(2) 使这个系统在水平面内转动，在什么转动频率下这两个铅球不再压缩弹簧？