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新 概 念 力 学 习 题 集 第 49 页

解：(1) x?GM/k[l0?2( (2) ??23M1/32)]?5.90?10?6m ; 4??GM/(R?l0/2)(2R?l0)?6.23?10?4rad/s .

7-15 将地球内部结构简化为地幔和地核两部分，它们分别具有密度ρM和ρC，二者之间的

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界面在地表下2900 km深处。试利用总质量M E = 6.0×10kg和转动惯量I E = 0.33 M

2

E R E 的数据求 ρM和ρC. 解：?M?(?0.33RE?rc)ME/4?RE3(RE2?rc2)?4.17?103kg/m3 , 344?c?[ME??(RE3?rc3)?M]/?rc3?12.7?103 kg/m3 .

334?G?CrC?12.3m/s2 352

7-16 利用上题的模型和数据来计算，地球内部何处的重力加速度最大。 解：地幔和地核交界处，重力加速度最大：gc?

7-17 一个不转动的球状行星，没有大气层，质量为M ，半径为R . 从它的表面上发射一质

量为m的粒子，速率等于逃逸速率的3/4．根据总能量和角动量守恒，计算粒子 (a)沿径向发射 (b)沿切向发射所达到的最远距离(从行星的中心算起)。 解：(a) 逃逸速度 v2? (b) ?2GM/R, 按能量守恒，可求得离球心的最大距离为 r = 16 R /7 ;

332GMGMv2???v1, 即此速度大于第一宇宙速度，粒子此情况下已44RR成为卫星，但可求得其离球心的最大距离为 r = 9R / 7 .

7-18 设想有一不转动的球状行星，质量为M，半径为R ，没有大气层。 从这行星的表面

发射一卫星，速率为v0，方向与当地的竖直线成 30°角。 在随后的轨道中，这卫星所达到的离行星中心的最大距离为5R/2. 用能量和角动量守恒原理证明 v0 =

1/2

(5GM/4R).

解：由角动量守恒和能量守恒定律可证 .

7-19 一质量为m的卫星绕着地球(质量为M )在一半径为r的理想圆轨道上运行。 卫星因

爆炸而分裂为相等的两块， 每块的质量为m/2. 刚爆炸后的两碎块的径向速度分量等于v0/2， 其中v0是卫星于爆炸前的轨道速率； 在卫星参考系中两碎块在爆炸的瞬间表现为沿着卫星到地心的连接线分离。

(1) 用G、M、m和r表示出每一碎块的能量和角动量(以地心系为参考系)。

(2) 画一草图说明原来的圆轨道和两碎块的轨道。 作图时，利用卫星椭圆轨道的长轴

与总能量成反比这一事实。

1mMm/23mM解：(1) v12?v22?v02?(v0/2)2?5v02/4;E1?E2??v12?G; ??G22r16r L1?L2?(m/2)v0r?(m/2)GMr.

(2) 两碎块均为以圆心为焦点的镜象对称椭圆; 其长半轴为

a??GM(m/2)4?r,

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偏心率为 ??1?2E1L12G2M2(m/2)3?12, 短半轴为b?a2(1??2)?3r. 23

7-20 彗星在近日点的速率比在沿圆形轨道上运行的行星约大几倍？［提示：彗星的轨道非常狭长］

解：圆轨道上行星的速度为 v0?GM; 彗星在近日点的速度接近逃逸速度, 即 rv近?v逃?2GM ; 故 v近：v0?2. r

7-21 假设SL9彗星与木星的密度一样，试计算它被撕碎的洛希极限在木星表面上空多少千米。

解：按洛希公式，rC?2.45539R(?/?')1/3?2.45539R木; 即撕裂发生在木星上空高

h?rC?R木?(2.45539?1)?7.154?107?1.041?108m = 1.041×105 km 处 .

7-22 试根据图7-61估算SL9彗星碎片与木星相撞时的相对速度。 解：相对速度近似等于木星的逃逸速度，即

V?v木逃?

2GM木R木?2G(320M地)320?v地逃?11.2?5.4?60km/s .

(11R地)11第八章 相对论

8-1 一艘空间飞船以0.99c的速率飞经地球上空1000 m高度，向地上的观察者

发出持续2×10-6 s的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持续时间为多少？ 在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？ 解：?t???

8-2 1952年杜宾等人报导，把 π+ 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)×

10-5 c时，它在自身静止的参考系内的平均寿命为2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？ 解：?t?????2.5?10?5s , l = 7.5×103 m.

1?v2/c2?14?10?6s , ?l?v?t?4200m.