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v前?v?mmu,v中?v,v后?v?u

M?mM?m

2-8 一质量为M的有轨板车上有N个人，各人质量均为m．开始时板车静止。(1)若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u，求跳离后车子的速度；(2)若N个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解:(1)设车子的速度为v车,由水平方向的动量守恒得:

Nmu (1)

M?Nmm (2)第一人跳:[M?(N?1)m]v车1?m(v车1?u)?0?v车1??u (2)

M?Nm 第二人跳: [M?(N?2)m]v车2?m(v车2?u)?[M?(N?1)m]v车1

m11 ?v车2?v车1?u??m[?u(3)

M??N?1?mM?NmM?(N?1)m ?

最后一个人跳: Mv车N?m(v车N?u)?(M?m)v车N?1

m11mm?v车N?v车N?1?u??m[?????]u

M?mM?NmM?(N?1)mM?2mM?m M?Nm(v车?u)?0?v车??这是车子最后速度的表达式. (3)比较(1)式和(4)式,显然有

v车N?v车.即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车

子最后获得更大的动能.但若各个人的相对车的速率不是u,则结论刚好相反.参见3-26题.

2-9 一炮弹以速率v0和仰角?0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块(见本题图)，其中一块以速率v1铅垂下落，求另一块的速率v2及速度与水平方向的夹角(忽略空气阻力)。 解:炮弹在最高点时vx?v0cos?0,vy?0.

在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡： 1m(v1?v2)?mvxi?mvyxj?mvxi.

21?mv?mvcos??mv2cos?x00??22?v2?v12?4v0cos2?0. 即??0?1mvsin??1mv21?22?2vcos?0v1v?1?sin?11?cos?10 ??tg

2v0cos?0v2v2

2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g，枪口速度为900m/s。

解:设平均反冲力为F=射击时所需的平均力

Ft?机枪的动量变化=子弹的动量变化=240mv-0=240mv

240mv240?10?10?3?900??36N ?Ft?t602-11 一起始质量为M0的火箭以恒定率|dM/dt|=u排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速

率为v0．(a)计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b)如果v0=2000m/s，则对于一个质量为100t的这种火箭，要给以等于0.5g的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg的燃料？

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解:(1)仿照书上P.50的推导,可得火箭经过dt时间后动量的改变为

dv?v0dM?F dtdvdM 在发射台附近,m=m0,??,F=M0g.v0与F方向向下.设?a0 dtdtv 则有: M0a0?v0???M0g?a0?0??g

M0 P?P0?mdv?v0dM?Fdt 则 mM0100?103(a0?g)?(0.5?1)?9.8?735kg/s. (2) ??v02000

2-12 一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为0． 级别 发射总质量 燃料质量 燃料外壳质量 60 t 40 t 10 t 一级 10 t 20/3 t 7/3 t 二级 11 t 2/3 t 三级 (1)若燃料相对于火箭喷出速率为u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；

(2)若把48t燃料放在12t的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。 解:(1)由P.50的(2.10)式,变为

?vv0dv??c?mdm?v?v0?cln0. m0mmm 对第一级火箭:v1?clnm060?2500ln?2500ln3. m60?40 对第二级火箭:v2?v1?2500ln10?5000ln3.

10?20/31?7500ln3?8239.6m/s.

1?2/3 对第三级火箭:v3?v2?2500ln (2)v?2500ln60?2500ln5?4023.6m/s.

60?48

2-13 一宇宙飞船以恒速v在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u，方向与v相反，在时刻t飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？

P?P0?[M(t)?dm](v?dv)?[M(t)v?udm]解:由动量定理得:

dvdm ?M(t)?(v?u)?M(t)dv?(v?du)dm?Fdtdtdt两边求导得:M(t)dvdm?(v?u)?F. dtdt新 概 念 力 学 习 题 集 第 8 页

∵要求飞船匀速,故

dv=0,v与u的方向相反,以v为正向, dt 则 F?(v?u)dmdm为向前的推力.此式的v、u为绝对值. ?F?(v?u)dtdt

2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm／dt，，试问：

(1)要保持传送带以恒定速率v运动，水平总推力F多大？

(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？ 解:(1)在水平方向上,由动量定理得:

(m?dm)(v?dv)?mv?mdv?vdm?Fd t 两边求导得F?mdvdm ?vdtdt当要求传送带以匀速运动时,水平总推力为F?vdm(向前) dt(2)在光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重.用力公式同上.

则:F?vdm 即沙子持续进来,便要持续施力.以上问题的答案不改变 dt

2-15 一质量为m的质点在x-y平面上运动，其位矢为r =a cos?ti+bsin?tj，求质点受力的情况。

x2y2解:x?acos? t,y?bsin? t,2?2?1.椭圆. v?dxi?dyj??? asin? ti?? bsin? tj

abdtdta?dv???2acos? ti?? 2bsin? tj???2r.质点受力f?ma??m?2r恒指向原点. dt

2-16 如本题图所示，一质量为mA的木块A放在光滑的水平桌面上，A上放置质量为mB的另一木块B，A与B之间的摩擦系数为?，现施水平力推A，问推力至少为多大时才能使A、B之间发生相对运动。

?N?mBg?0解: 对B:?

f?ma??N??mg?a??mgBBBBB?rF??mBg 对A:F?fr?mAaA?F??mBg?aA?

mA 当aA?aB 时,A,B 之间发生相对运动?F??(mA?mB)g

2-17 如本题图所示，质量为m2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？

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?m2a2x?N2sin??m1a1x??N2sin??解:对m2:?m2a2y?N1?N2cos??m2g 对m1:?

ma?Ncos??mg21?11y??a2y?0运动学关系:

'a1y?a2y?'??a1ya1?a1?a2,'?tg???a1ya1x?a2xa1xm1?m2?N??1m?msin2?m2g?21.?(a1x?a2x)tg???m1m2g?N?cos?22?m?msin?21?次式在P.159的3-11题中有用.

m2gsin?cos?m2g?a?????1x(m1?m2)tg??m2ctg?m2?m1sin2?? ?(m?m)g(m?m)gtg?21212?a??sin???1y?(m1?m2)tg??m2ctg?m2?m1sin2??m1gsin?cos?m1g?a???2xm?msin2?(m?m)tg??mctg? 12221??a?0?2y

2-18 在桌上有一质量m1的木板。板上放一质量为m2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为?1，物体与板面间的摩擦系数为?2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？ 解: f2??2N2,N2?m2g,f1??1N1,N1(m1?m2)

?f2?m2a2? ?F?f1?f2?m1a2?F?(?1??2)(m1?m2)g

?a?a2?1

2-19 设斜面的倾角?是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为?，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角? 的关系，(2)若斜面倾角?1=60?与?2=45?时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数?．

解:(1)f?N?,N?mgcos?, mgsin??f?ma?a?g(sin???cos?)

d12dS??at2?t?[]2

cos?2gcos?(sin???cos?)12d2[]?[]????gcos45(sin45??cos45)gcos60(sin60???cos60?)(2)

2d1211311 ?????cos60sin60?cos45sin452222?2?3?0.268????11cos260??cos245??42

2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m1=3.0kg, m2=2.0kg, m3=1.0kg．求m1下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。 解: ??m1g?T1?m1a1

T?2T2?1?m2g?T2?m2a2?'?a2?a?a1m?m3?T?m3g?m3a3 ?2 ?a1'?2(g?a1) 'm?m23?a3?a?a1新 概 念 力 学 习 题 集 第 10 页

a1'?m1(m2?m3)?4m2m33?(2?1)?4?2?11g??g?g?0.58m/s2

m1(m2?m3)?4m2m33?(2?1)?4?2?117

2-21 在本题图所示装置中，m1与m2及m2与斜面之间的摩擦系数都为?，设m1>m2，斜面的倾角?可以变动。求?至少为多大时m1、m2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。

解:f1??N1,N1?m1gcos?,f2??N2,N2?(m1?m2)gcos?

??f1?T?m1a?m1gsin3m?m2???f1?f2?tg??1?. ?m2a?T? m2gsinm?m12?a?0?

2-22 如本题图所示装置，已知质量m1、m2和m3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力F才能使m3不升不降。

?m3g?T?0m??F?3(m1?m2?m3)g 解:?T?m2am2?F?(m?m?m)a123?

2-23 如本题图所示，将质量为m的小球用细线挂在倾角为?的光滑斜面上。求(1)若斜面以加速度?沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2)当加速度?取何值时，小球刚可以离开斜面？

?Tsin??Ncos??mg?T?m(gsin??acos?)??

?Tcos??Nsin??ma?N?m(gcos??asin?) (2) 令N=0?a?gctg?

解:(1)?

2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R的弯道。弯道倾斜一角度?，轮胎与路面之间的摩擦系数为?．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。 解: 车子驶慢时,就要往下滑.则有

??Ncos??fsin??mg???vmin??f??N?2v?Nsin??fcos??mmin?R? 车子驶快时,就要往上滑.则有

sin???cos?tg???kg?kg

cos???sin?1??tg???Ncos??fsin??mg???vmax??f??N?2vmax?Nsin??fcos??m?k?sin???cos?tg???kg?kg

cos???sin?1??tg?

2-25 质量为m的环套在绳上，m相对绳以加速度a’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。

?mg?f?m(a'?a)Mm?解:?f?T?f?(2g?a')

M?m?Mg?T?Ma?