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运动。

解：把小球和薄板看成一个质点组，对转轴的角动量守恒，设为小球碰撞后的速度，为薄板的角速度，则有：

??mvL?mvL?I??123m?M6vm?1212v,???,v??L? ?mv?mv??I?(动量守恒)?v??223m?ML3m?M?21?I?ML2?3??M?3m,v??0,小球向前运动讨论：?M?3m,v??0,小球不动

?M?3m,v??0,小球反弹回来三种情况下，薄板匀绕轴向前转动，此题中系统的动量不守恒，因为轴对薄板有做用力

4-16 由三根长l、质量为m的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。

解：OC,OB棒对OZ轴的转动惯量为Ic?IB?IBC??(oA?y)?dy?OA?m???三角架过OZ轴的转动惯量为I?IB?IC?IBC?l2?l2222l2?l21mlBC棒对轴的转动惯量为 3l2152m2ydy?(l?)m?ml2?ml2l4126

1253ml?2?ml2?ml2362

4-17 六小球各重60kg，用长1cm的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述情况的转动惯量。

(1)转轴通过中心与平面垂直；(2)转轴与对角线重合；(3)转轴通过一顶点与平面垂直。

(1).I?6ml2?6?60?10?3?10?4?3.6?10?5kgm2解：(2)I?4m(32l)?3ml2?1.8?10?5kgm2 239(3)I?2ml2?2m(l2?l2)?m(2l)2?12ml2?7.2?10?5kgm244

4-18 如本题图，钟摆可绕O轴转动。设细杆长l，质量为m，圆盘半径为R，质量为M．求 (1) 对O轴的转动惯量；(2)质心G的位置和对它的转动惯量。 解：(1)I?(2)l1?121ml?MR2?M(l?R)2 32?R)lml/2?M(l?R)ml?2m(l?R)?l2??2m?M2(M?m)11mMl?ml2?MR2?(R?)2122M?m2l[m?M(l?R)]2112?ml2?MR2?32m?Mmlml(?R),l2?(M?m2M?m2MR?ml/2rc?l?(l1?R)?l??M?m1122Ic?ml2?ml2?MR2?Ml11222或Ic?I?(M?m)rc1(上两式的IC是相等的，例如，取一特征值来验证：M?2m,R?l?Ic?0.45ml2)

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习题4-18 习题4-19

4-19 在质量为M、半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

?112R22MR?I余?2(mr?m)?1r2r4?2242?I余?MR(1?2?24) 解：?2RRMr22?m??rr?M()?R?R2?

4-20 一电机在达到20r/s的转速时关闭电源，若令它仅在摩擦力矩的作用下减速，需时240s才停下来。若加上阻滞力500N?m，则在40s内即可停止。试计算该电机的转动惯量。 解：设摩擦力矩的大小为M摩，?0?20周/S?40?rad/s,t1?240s,t2?40s

??M摩t1?I(0??0)500t2500?40?M???100Nm?摩?(M摩?500)t2?I(0??0)t1?t2240?40 ?

M摩t1100?240I???191kgm2?040?

4-21 一磨轮直径0.10m，质量25kg，以50r/s的转速转动。用工具以200N的正压力作用在轮边上，使它在10s内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。

??Mr(t?0)?Ic(0??0)?12?mR?025?0.05?100??Ic?mR?????0.098 解：?22Nt2?200?10??0?50?2??100?rad/s???Mr?frR,fr??N?,N??200N

4-22 飞轮质量1000g，直径1.0m，转速100r/min。现要求在5.0s内制动，求制动力F．假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.50，飞轮质量全部分布在外缘上，尺寸如本题图所示。

??M(t?0)?ILc(0??0)?M??N?R,r?0.5m,??0.5,t?5s10?1?0.5??mR?0?3?2.09N?N????Ic?mR2,m?1kg?t0.5?5解：?

???100?2??10?md/s0?603?0.5?2.09对O?点的力矩平衡：N??F?1.25?F??0.836N.1.25

4-23 发电机的轮A由蒸汽机的轮B通过皮带带动。两轮半径RA=30cm，RB=75cm．当蒸汽机开动后，其角加速度?B=0.8?rad/s2，设轮与皮带之间没有滑动。求：(1)经过多少秒后发电机的转速达到vA=600r/min？(2)当蒸汽机停止工作后—分钟内发电机转速减到300r/min，求其角加速度。

(1)两轮在切点（C，0）的线向速度一样?v??BRB??ARA解： ? RA?A3020?600?2???20?rad/s?t?????10s??A?nA?2??60RB?B700.8?????B??Bt.(?B0?0)新 概 念 力 学 习 题 集 第 27 页

1(2)?A0?600转/分?20?rad/s,?A?300转/分??A0?10?rad/s2???A010??20?1?A?A????rad/s2??0.17?rad/s2t?606

RA30RA30?B0??A0??20??8?rrad/s,?B??A0??10??4?rrad/sRB75RB75?B??B??B0t??4??8?1???rrad/s2??0.067?rrad/sw26015

习题4-23 习题4-24

4-24 电动机通过皮带驱动一厚度均匀的轮子，该轮质量为10kg，半径为10cm．设电动机上的驱动轮半径为2cm，能传送5N?m的转矩而不打滑。(1)把大轮加速到100r/min需要多长时间？(2)若皮带与轮子之间的摩擦系数为0.3，轮子两旁皮带中的张力各多少？(设皮带与轮子的接触面为半个圆周) 解：（1）??100?2?10??rad/s 603?Mt?Ic(??0)110?2?10?0.1??I?1?23?0.105s ?t?c?2?Ic?mR2M5???m?10kg,R?0.1m?T1?T2?TM5(2)? T1?T2?T???83.3N

2?R2?0.3?0.1??(T1?T2)R?M

4-25 在阶梯状的圆柱形滑轮上朝相反的方向绕上两根轻绳，绳端各挂物体m1和m2，已知滑轮的转动惯量为IC，绳不打滑，求两边物体的加速度和绳中张力。

?m1g?T1?m1G1?T?mg?mG(m1R?m2r)R(m1R?m2r)r?2222?a?g a?a?g?1212222T1R?T2r?Ic?Ic?m1R?m2rIc?m1R?m2r解：?

?a?R?,a?r?2?1I?m2r(r?R)Ic?m1r(r?R)T1?cmg T?m2g12Ic?m1R2?m2r2Ic?m1R2?m2r2

4-26 一细棒两端装有质量相同的质点A和B，可绕水平轴O自由摆动，已知参量见图。求小幅摆动的周期和等值摆长。

rc?l2?l2?l2l2?l12222?,m??2m I?ml1?m2l2?m(l1?l2)2222l?l2I解：小幅摆动的周期T?2??2?1m?grcg(l2?l1)l?l22lI等值摆长l0??1?l1?l2?1?l1?l2m?r0l2?l1l2?l1222

4-27 如本题图，复摆周期原为T1=0.500s，在O轴下l=10cm处(联线过质心C)加质量m=50.0g后，周期变为T2=0.600s，求复摆对O轴原来的转动惯量。

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??I?I??I?ml2T?2??1?Mgrcm(l?rc) ?ml??解：? ??rc??m?Mm?MI??T?2???Mrc?ml?2??(M?m)grr?r??r?c?ccc?m?M??I?T1222T2?T1ml(l?T224?2g)

0.520.62?3?2?2??50?10?10?10?(10?10??9.8)?1.21?10?4kgm2?1.21?103g?cm22220.6?0.54?习题4-25 习题4-26 习题4-27

4-28 1.00m的长杆悬于一端，摆动周期为T0，在离悬点为h的地方加一同等质量后，周期变为T．(1)求h=0.50m和1.00m时的周期比T/T0；(2)是否存在某一h值，使T/T0=1？

解：l?1m,rc?11I2ll, I?ml2 T0?2??2? 23mgrc3gT?2?I?2mgrc?,I??I?mh2?12ml?mh231h?lh?rch?rc?2?l?2h?? rc?rc?222412ml?mh2l?3h2T3?T?2??2? ?l?2h3(l?2h)gT02mg4T1?3?0.52(1)h?0.5m时，??0.935?T01?2?1?0.5T1?3?1?1.155? h?1m时，?T01?2?1?1(2)当4378

l?3h2l?2lh

T22?1时，?l2?3h2?l2?2lh?h1?0,或h2?l??1?0.667mT033即存在一h值（0.667m），使T/T0?1

4-29 半径为r的小球沿斜面滚入半径为R的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨。若小球在轨道上只滚不滑，需要在斜面上多高处自由释放，它才能获得此速度？ 解： N?Mv高2R?r?mg?0?v高?g(R?r)

11?22mgh?mg(2R?r)?mv?I?c高?1?22?h?(27R?17r) ?210?I?mr2,v?r??g(R?r)c高?5?

4-30 如本题图所示为麦克斯韦滚摆，已知转盘质量为m，对盘轴的转动惯量为IC，盘轴直径为2r，求下降时的加速度和每根绳的张力。