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新 概 念 力 学 习 题 集 第 29 页

?mg?2T?macIcmr2??ac?g T?mg 解：?ac?r?22Ic?mr2(Ic?mr)?2T?r?I?c?

4-31 一质量为m、半径为R的圆筒垂直于行驶方向横躺在载重汽车的粗糙地板上，其间摩擦系数为?．若汽车以匀加速度a起动，问：(1)a满足什么条件时圆筒作无滑滚动？(2)此时圆筒质心的加速度和角加速度为何？ 解：（1）以地面为参照系

?f?m(a?ac),?Rf?I?1a?c?f?ma??N??mg?a?2?g或???222g?Ic?mR?a?R??c ac是圆筒相对车的加速度(2)ac?a11a?a,圆筒质心对地面的加速度ac?a?ac?a ??c?22R2R

4-32 如本题图，质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动。设两轮的间距为L，与地面间的摩擦系数为?，汽车质心离地面的高度为h，与前轮轴的水平距离为l．求前后轮对地面的压力。

?N1?N2?mgL?l??h?N?mg?Nl?N(L?l)?(f?f)l1??1?2122L???解：f??N

1?1?N?l??hmg2??L?f??N2?2N1,N2亦即前后轮对地面的压力。

4-33 足球质量为m，半径为R，在地面上作无滑滚动，球心速度为v0．球与光滑墙壁作完全弹性碰撞后怎样运动？

设足球原来转速为?0，v0?R?0.对A点的角速度动量守恒，故碰后足球??解：的角速度仍为?，因墙的质量》m，故碰后球的质心为v??v.设此时为

00t?0,vp0?v0?R?0?2v0足球一边向前滑动，一边倒着转动。f???mgdvc???mg?ma?m?vc?v0??gtc???dt???3?g

???0?t???mgR?Id??2mR2d??2R?c?dt3dt?新 概 念 力 学 习 题 集 第 30 页

2v0，当t?t1时，球还时倒转；t?t1时，??0，3?g21vc?v0?v0,vp?R??vc?v0,球不转，只是滑动，t?t1s时，??0，在摩擦力矩作用下33，足球按顺时转动。讨论（1）记t1?4v3?g（2）vp?0,即R(?0?t2)?(v0??gt2)?0,亦即t2?0时，球只滚不滑，此时，2R5?gv11vc?v0??gt2?v0,???0???0?0,若不计滚动摩擦，此后vc,?保持不变。5R5v1（3）令t3?0,此时,vc?0,????0,这种情况不会出现，这是因为t3?t2,在t?t3?g2

前后，足球已是纯滚动了。

4-34 若在上题中滚动着撞墙的球是个非弹性球，墙面粗糙，碰撞后球会怎样运动？它会向上滚吗？能滚多高？

解：设球心原来速度为v0（向右），质量为m，墙体质量为m?，球碰撞后速度为

??m?em??vc?v0(v0?R?0)m?m?

??m?当e?时，vc?0,球会向右运动（一边滑动，一边倒着转动），分析m?方法类似上题（4?33）??m?当e?时，vc?0,球不会返回，它会在摩擦力f的力矩作用下向上滚动，m?设滚上的高度为hc,mghc?v1121222Ic?0?mR2?0?mv0?hc?022333g2

球碰后对A点的角动量守恒，故角速度仍为?0

4-35 一半径为r、质量为m的匀质小球，在铅直面内半径为R的半圆轨道上自静止无滑滚下。求小球到达最低点处质心的速率、角速度，以及它作用于导轨的正压力。

11?22mg(R?r)?mv?I?c低低?22?221010??v底?g(R?r),或v低?gh?Ic?mr577??v低?r?低??解：??110g(R?r),或??110gR 由N?mg?mv低?N?17mg

低低r7r7R?r717小球作用于最低点的轨迹的正`压力为N???N?mg7

4-36 一圆球静止地放在粗糙的水平板上，用力抽出此板，球会怎样运动？

解：设平板的加速度为a，球心相对于平板的加速度为ac先考虑只滚不滑的情况

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?f?m(a?ac),ac?R?52ma2a??a?a,f???mg????2c777gRf?Ic??mR2??5?在此条件下，用力将平板抽出时，球一边向前运动（对地的加速度为??a?ac?ac

22aa）,一边绕质心倒着转动，若??,则球只会滑动，没有滚动。77g

4-37 (1)沿水平方向击台球时，应在球心上方多高处击球才能保证球开始无滑滚动? (2)若台球与桌面间的摩擦系数为?，试分析朝着中心击球的后果。

?F?f?mac?Fh?fR?I?c?15hR7?mg?（1）?f?F(2?)??mg,解法：h?(2?) 解：?227R5F?Ic?5mR???ac?R?这是在球心上高为h处击球，又使球是无滑动的条件。考虑到?可以很小，若在h?击球，肯定能保证台球一开始就做无滑滚动。

2F2F当h?0,无滑动的要求给出f???mg???77mg (2) 当f??mg时，台球只有滑动，没有滚动，此时a?F??mg

cm2F2F或??时，f???mg,则先出现的是滑动。7mg7

4-38 一滑雪者站在30?的雪坡上享受着山中的新鲜空气，突然看到一个巨大的雪球在100m外向他滚来并已具有25m/s的速度。他立即以10m/s的初速下滑。设他下滑的加速度已达到最大的可能性，即gsin30?=g/2，他能逃脱吗？ 解：设人滑出s米后的速度为v人，

2R处5v人?v0人?2as?100?gs(a?雪球到达A点的速度为v雪：22111g) (1) s?v0人t?at2?10t?gt2 (2)2241111?2222?mg(s?_100)sin30?mv?I??mv?I?cc0雪0雪雪雪?2222 ? ??I?2mR2,v?R?,v?R?c0雪0雪雪雪?5?5222?v雪?1325?gs(3) 如果雪球碰上滑雪者，则v雪?v人?s?437.5m 7带入（2）式得t?11.48s?12秒钟后，雪球会碰到滑雪者，人不能逃脱。

4-39 如本题图，一高为b、长为a的匀质木箱，放在倾角为?的斜面上，两者之间的摩擦系数为?．逐渐加大?，木箱何时倾倒，或下滑？

解：当木箱刚好可以翻倒时，N=0， f=0,但对0点的力矩

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baa?mgcos???0???arctg??1 (1)22b ?mgsin???N?ma?若木箱不能翻倒只能滑动，此时有?N?mgcos??0???arctg???2 (2)?a?0?现在讨论翻倒或滑动的次序。bb?当??时，?1??2，则?在到达?1?arctg时发生翻倒。aa bb?当??时，?1??2，则?在到达?2?arctg时发生滑动。aabb?当??时，?1??2，则?在到达?1??2?arctg??arctg时滑动和翻倒同时发生。aa

习题4-39 习题4-40 习题4-41

4-40 本题图中墙壁和水平栏杆都是光滑的，细杆斜靠在其间。在什么角度?下细杆才能平衡？

解；N2?sin??N1 N2cos??mg

mgsin??l?N?BE?mg(?AB)cos?1?2?d?Rsin?l??3BE?ABsin?,AB??cos??Rsin??d(0???) ?cos?22??l?2?AB?在此条件下，细杆能平衡

4-41 倾角为?的斜面上放置一个质量为m1、半径为R的圆柱体。有一细绳绕在此圆柱体的边缘上，并跨过滑轮与质量为m2的重物相连，如本题图所示。圆柱体与斜面的摩擦系数为?，?角满足什么条件时，m1和m2能够平衡？在什么情况下圆柱会下滚?

2m2?T?m2g?0?sin???fR?TR?0?m1????或tg?2??N?mgcos??0m1??cos??2???m1??f??N解：这时，m1与m2平衡。

当圆拄下滚时，（f??N）?T?m2g?m2a2?a?R??v?c,v?c?acR?2?2(m1sin??2m2)2m2?g?0?sin??(只滚不滑)?m1gsin??T?f?m1ac?ac?3m?8mm121?12?(f?T)R?mR?1?2?

4-42 题图中示意地表明轮船上悬吊救生艇的装置。救生艇重960kg，为两根吊杆分担。吊杆穿过A环，下端为半球形，放在止推轴承B内。求吊杆在A、B处所受的力。