《复变函数论》试题库及答案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:18:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

ez10. Res(n,0)?____.

z三. 计算题. (40分)

1. 将函数f(z)?ze在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

21zn!n2. 试求幂级数?nz的收敛半径.

n?nezdz3. 算下列积分:

?Cz2(z2?9),其中C是|z|?1.

4. 求z9???2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明:如果|f(z)|在D内为常数,那么它

在D内为常数. 2. 设使得当|f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

证明

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)

一. 判断题. (20分)

1. 若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. ( ) 2. 若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( ) 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. ( ) 4. 若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0.

( )

lim5. 若z?z0f(z)存在且有限,则z0是函数的可去奇点. ( )

6. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0,则f(z)在D内恒为常数. ( )

lim7. 如果z0是f(z)的本性奇点,则z?z8. 若9. 若

f(z)一定不存在. ( )

0f(z0)?0,f(n)(z0)?0,则z0为f(z)的n阶零点. ( )

f(z)与g(z)在D内解析,且在D内一小弧段上相等,则f(z)在0?|z|???内解析,则

f(z)?g(z),z?D. ( )

10. 若

Res(f(z),0)??Res(f(z),?). ( )

二. 填空题. (20分)

11. 设z?,则Rez?__,Imz?___.

1?iz1?z2?...?zn?______________.

n??n??n3. 函数ez的周期为__________.

14. 函数f(z)?的幂级数展开式为__________ 21?z5. 若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的

_____________. 2. 若limzn??,则lim7. 设C:|z|?1,则

?(z?1)dz?___.

Csinz8. 的孤立奇点为________.

z9. 若z0是f(z)的极点,则limf(z)?___.

z?z010.

ezRes(n,0)?_____________.

z三. 计算题. (40分)

31. 解方程z?1?0.

ez2. 设f(z)?2,求Res(f(z),?).

z?13.

z?|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

11?z4. 函数f(z)?e?1z有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).

四. 证明题. (20分) 1. 证明:若函数

f(z)在上半平面解析,则函数f(z)在下半平面解析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题(五)

一. 判断题.(20分)

1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数. ( ) 2. 若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内

恒等于常数. ( ) 3. 若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析. ( ) 4. 若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析. ( ) 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析. ( ) 6. 若limf(z)存在且有限,则z0是f(z)的可去奇点. ( )

z?z07. 若函数f(z)在z0可导,则它在该点解析. ( ) 8. 设函数9. 若z0是

f(z)在复平面上解析,若它有界,则必f(z)为常数. ( )

f(z)的一级极点,则

z?z0Res(f(z),z0)?lim(z?z0)f(z). ( )

10. 若

f(z)与g(z)在D内解析,且在D内一小弧段上相等,则

f(z)?g(z),z?D. ( )

二. 填空题.(20分) 1. 设z2. 当z3. 设e4.

?1?3i,则|z|?__,argz?__,z?__.

?___时,ez为实数.

z??1,则z?___.

ez的周期为___.

5. 设C:|z|?1,则

?(z?1)dz?___.

Cez?16. Res(,0)?____.

z7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。

18. 函数f(z)?的幂级数展开式为_________.

1?z2sinz9. 的孤立奇点为________.

z110. 设C是以为a心,r为半径的圆周,则

?C(z?a)ndz?___.(n为自

然数)

三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数的实部与虚部.

z?12. 计算积分:

I??Rezdz,

L在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 3. 4.

d?求积分:I??01?2acos??a2,其中0

应用儒歇定理求方程z??(z),在|z|<1内根的个数,在这里?(z)在

2?|z|?1上解析,并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2. 设

f(z)?|z|2除去在z?0外,处处不可微.

f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M,

z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

使得当|证明:

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.