内容发布更新时间 : 2024/12/27 12:36:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等数学（一）教案 期末总复习

高等数学下册习题常见类型

题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2 由已知条件求平面与直线方程 题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4 求多元复合函数的偏导数 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数

题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分 例1、 求

42sin?ysin?ydy??dx?dy

x2xyy?21dx?x解：（将二次积分交换顺序）

?dx?12x42sin?ysin?ysin?ysin?ydy??dx?dy???dxdy???dxdyx2xyyyyD1D22y2sin?y2sin?y???dxdy??dy?dx??(y?1)sin?ydy?cos1?sin11y1yyD1?D2

题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分

题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积 题型24 计算对坐标的曲面积分

题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27一阶线性微分方程 题型29 可降阶方程

题型30二阶常系数非齐次线性方程

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第八章 向量与解析几何

定义 向量 模 向量代数 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) ????有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a ???ax?prjxa,ay?prjya,az?prjza a?ax2?ay2?az2 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? aa?0，则ea? a设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ea?(ax,ay,az)ax?ay?az222 方向余弦 aaacos???x，cos???y，cos???z aaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 a?b?axbx?ayby?azbz ia?b?axbxjaybykaz bzc?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行 a?b?a?b?0 a?b?axbx?ayby?azbz?0 a//b?cos??a//b?a?b?0 axayaz?? bxbybz2222交角余弦 a?b两向量夹角余弦cos?? ab向量a在非零向量b上的投影 axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz22 投影 prjba?acos(a?b)?a?b b prjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222 平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点法式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

x?x0y?y0z?z0 ??mnp- 3 -

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x?x1三点式 y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 参数式 x2?x1x3?x1截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1 ??A2B2C2ABC?? mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0 ??x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin?? ?x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?切“线”方程：切向量 x?x0y?y0z?z0 ??????(t0)?(t0)?(t0)空间(??t??) 曲线 ?：?T?(??(t0),??(t0),??(t0)) 法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 切“线”方程：?y??(x)切向量 ??z??(x)T?(1,??(x),??(x)) ?x?x0y?y0z?z0 ??1??(x0)??(x0)法平“面”方程： (x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 法向量 切平“面”方程： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)F(x,y,z)?0 空间曲面 ?：?n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))?n?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1) ?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程： fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0 法“线“方程：

z?f(x,y) 或 ?n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)x?x0y?y0z?z0 ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1- 4 -

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第十章 重积分

重积分 计算方法 （1） 利用直角坐标系 X—型 Y—型 积分类型 二重积分 典型例题 ??f(x,y)dxdy??dx??Dab?2(x)1(x)f(x,y)dy f(x,y)dx P141—例1、例3 ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)I???f?x,y?d?D（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x2?y2)?, 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 ?为实数 ) P147—例5 ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?) f(?cos?,?sin?)?d?0???2? 0???? ????2? （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论） ??0???I??2??f(x,y)dxdy?D1????计算步骤及注意事项 f(x,y)对于x是奇函数，即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f(?x,y)?f(x,y)D1是D的右半部分P141—例2 应用该性质更方便 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

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三重积分 (1) 利用直角坐标?投影?投影法?截面法ba y2(x)f(x,y,z)dV??dx?????y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz P159—例1 P160—例2 ?x?rcos??（2） 利用柱面坐标 ?y?rsin? ?z?z?相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○I????f(x,y,z)dv?P161—例3 空间立体物的质量 质量=密度?面积 22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x?y)f(x?z) ○????f(x,y,z)dV??dz?d??ab?r2(?)?r1(?)f(?cos?,?sin?,z)?d? ?x??cos??rsin?cos??（3）利用球面坐标 ?y??sin??rsin?sin? ?z?rcos??dv?r2sin?drd?d? 适用范围: 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○P165—10-(1) 2222被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，f(x?y?z) ○I??d??d???1?1?2?2?2(?,?)?1(?,?)f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d? （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

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