内容发布更新时间 : 2024/5/21 2:37:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大
题练）
A卷——大题保分练
x2y2
1．(2018·成都模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，长半轴长与
ab短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝3，＝2，a＝b＋c， ∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y＝1.
4
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，
ab222
x2
2
y2)．
??y＝kx＋m，由?22
?x＋4y＝4，?
2
消去y可得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0.
2
2
222
－8km4m－4∴Δ＝16(4k＋1－m)>0，x1＋x2＝2，x1x2＝2.
4k＋14k＋1―→―→
∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴BM·BN＝0.
―→―→2
∵BM·BN＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)＝0，
4m－4－8km2
∴(k＋1)2＋k(m－1)2＋(m－1)＝0，
4k＋14k＋1
2
2
2
整理，得5m－2m－3＝0， 3
解得m＝－或m＝1(舍去)．
53
∴直线l的方程为y＝kx－. 5
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意． 3??故直线l过定点，且该定点的坐标为?0，－?. 5??
2．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
2
2
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＝kx－1由?2
??y＝4x2
，
得kx－(2k＋4)x＋k＝0.
2
2222
2k＋4Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝2.
k4k＋4
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
2
k4k＋4
由题设知2＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．
2
k因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
y0＝－x0＋5，??则?y0－x0＋12
x＝0＋1?2?
??x0＝3，解得?
??y0＝2
2
＋16.
2
??x0＝11，
或???y0＝－6.
2
2
2
因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144.
x2y2
3.(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点
ab与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|＝23.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA1
与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．
2
解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，
b2?c2t2b2?∴2＋2＝1，得t＝，即P?c，?，
aba?a?
b2ba2222
由AB∥OP得＝，即b＝c，∴a＝b＋c＝2b，①
ac又|AB|＝23，∴a＋b＝12，②
由①②得a＝8，b＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.
84
1
(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则
2
2
22
2
x2y2
x2y200
8
＋＝1，③
4
1
∵kQA·kQD＝－，A(－22，0)，
2∴
y0x0＋22
·
1
＝－(x0≠m)，④ x0－m2
y0
由③④得(m－22)x0＋22m－8＝0， 即?
?m－22＝0，
?22m－8＝0，
解得m＝22，
1
∴存在点D(22，0)，使得kQA·kQD＝－.
2
x2y25??
4．(2018·昆明模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，P?2，?是椭圆C上
ab5??
的点．
(1)求椭圆C的方程；
―→―→―→
(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设OD＝OA＋OB，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，
x2y2
则椭圆C的方程为2＋2＝1，
aa－4
因为点P?2，4所以2＋
??5?
?在椭圆C上， 5?
a5
11622
＝1，解得a＝5或a＝(舍去)，
a2－45
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
5
―→―→―→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由OA＋OB＝OD，得D(x1＋x2，y1
x2
2