内容发布更新时间 : 2024/5/20 0:11:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
=
=故答案为
；
．
点评： 本题考查了“累加求和”和等比数列的前n项和公式，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17．已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8． （1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}单调递增，求数列{an}的前n项和．
考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： （1）设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，建立方程组，解方程组可得a1、d，进而可得通项公式； （2）确定an=3n﹣7，利用等差数列的求和公式可得结论． 解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则 ∵等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，
∴，
∴或，
∴an=﹣3n+5或an=3n﹣7； （2）∵数列{an}单调递增， ∴an=3n﹣7， ∴Sn=
=
．
点评： 本题考查等差数列的前n项和公式和通项公式，正确运用公式是关键．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=（1）求A； （2）若a=，△ABC的面积为，求b，c．
考点： 余弦定理的应用． 专题： 解三角形．
asinC+ccosA．
分析： （1）利用c=asinC+ccosA及正弦定理可知sin（A+）=，进而可得结论；
（2）通过S△ABC=bcsinA=
可知bc=4，利用余弦定理可知a+bc=（b+c），进而a=
22
、
bc=4计算即得结论． 解答： 解：（1）由c=asinC+ccosA及正弦定理得： sinAsinC+cosAsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴sin（A+
）=，
又0＜A＜π， ∴故A=
A+；
，
，
（2）∵S△ABC=bcsinA=
∴bc=4． 222
∵a=b+c﹣2bccosA， 22∴a+bc=（b+c）， 代入a=、bc=4，解得：b+c=4， ∴b=c=2．
点评： 本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．
考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；应用题．
分析： 在△ABC中利用三角形内角和求得∠BCA和∠BAC，则BC可求得，最后利用正弦定理求得AC．
解答： 解：在△ABC中，∠ABC=155°﹣125°=30°， ∠BCA=180°﹣155°+80°=105°， ∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°，
BC=×50=25，
由正弦定理，得∴AC=
=
（浬）
浬．
答：船与灯塔间的距离为
点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立三角函数的数学模型，运用三角函数的基础知识来解决实际问题．
20．已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2（n≥2且n∈N）． （1）求证：数列{
}是等差数列；
n
*
（2）求数列{an}的通项公式．
考点： 等差关系的确定；数列的应用． 专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由an=2an﹣1+2，两边同时除以2，即可证明 （2）由（1）可求
，进而可求an
nn
解答： 证明：（1）∵an=2an﹣1+2，两边同时除以2，可得
nn
∴，又=
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知=
∴
点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，解题的关
n
键是在已知递推公式的两边同时除以2．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若
，且
，求a和c的值．
考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
专题： 计算题；转化思想．
分析： （1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
22
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a+b=12，再根据完全平方式易得a=c=． 解答： 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB， 故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB， 可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB， 即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0， 因此（II）解：由
．
，可得accosB=2， ，
由b=a+c﹣2accosB，
22
可得a+c=12，
2
所以（a﹣c）=0，即a=c， 所以．
点评： 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．
22．数列{an}的前n项和为，且an是Sn和1的等差中项，bn等差数列．满足b1=a1，b4=S3 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=
，数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn+1对一切n∈N恒成立，求实数λ
*
2
2
2
的最小值．
考点： 数列的求和．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （1）由题意可知，Sn=2an﹣1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=2an﹣1，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求bn， （2）由cn=恒成立，可转化为
=（
﹣
），利用裂项求和可求Tn，从而Tn≤λbn+1对一切n∈N
*
*
≤λ（2n+1）对一切n∈N恒成立，结合数列的单调性，即可得出结论．
解答： 解：（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn=2an﹣1 当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1， ∴an=2an﹣1，∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，
n﹣1n
∴an=2，Sn=2﹣1．
设{bn}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2，
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1； （2）cn=
=（
﹣
﹣
）
）=
∴Tn=（1﹣+﹣+…+
*
∵Tn≤λbn+1对一切n∈N恒成立， ∴∴λ≥
≤λ（2n+1）对一切n∈N恒成立，
．
*
令f（n）=，则f（n）单调递减，
∴λ≥．
点评： 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用，难度中等．