内容发布更新时间 : 2024/4/30 17:14:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§5.3 平面向量的数量积

2014高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．

复习备考要这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．

1． 平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.

2． 平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 3． 平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a； a·b

(4)cos θ＝；

|a||b|(5)|a·b|__≤__|a||b|.

4． 平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5． 平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.

→

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. [难点正本 疑点清源] 1． 向量的数量积是一个实数

两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．

2． a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，

→→

而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB、BC的夹角与角B的关系． 3． 计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．

1． 已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___.

答案 －32

解析 a·b＝|a||b|cos 135°＝2×3×?－

?

2?＝－32. 2?

2． 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．

3答案

2

解析 由a⊥b知a·b＝0. 又3a＋2b与λa－b垂直， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－2b2 3＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝.

2

3． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．

答案

65 5

a·b

解析 设a和b的夹角为θ，|a|cos θ＝|a| |a||b|2×?－4?＋3×71365＝＝＝.

52265?－4?＋7

4． (2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于

A．－12 答案 D

B．－6

C．6

D．12

( )

解析 由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.

5． (2012·陕西)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于

A.2

2

1B. 2

C．0

D．－1

( )

答案 C

解析 利用向量垂直及倍角公式求解． a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，

1

∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.

2

题型一 平面向量的数量积的运算

→→

例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于

A．－16 B．－8 C．8 D．16

(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3

→→

思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量CA，CB为基底． (2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x. 答案 (1)D (2)C

→→→→→解析 (1)AB·AC＝(CB－CA)·(－CA) →→→2＝－CB·CA＋CA＝16. (2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．

又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30. ∴x＝4.

探究提高 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．

( )