内容发布更新时间 : 2024/11/1 11:37:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

等差数列与等比数列的证明方法

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、 定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an?1?an?d(常数)??an?是等差数列

a2n?2?a2n?d(常数)??a2n?是等差数列 a3n?3?a3n?d(常数)??a3n?是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

an?an?1?d(n?2)??an?是等差数列 an?1?an?an?an?1(n?2)??an?是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an?1?q(q?0且为常数，a1?0)??an?为等比数列 an40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an?q（n>2，q为常数且≠0）??an?为等比数列 an?1注意事项：用定义法时常采用的两个式子an?an?1?d和an?1?an?d有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n?1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有

an?1?L?q（常数?0）． anan?L?q（常数?0）；②an?1n?N?时，有

例1. 设数列a1,a2,L,an,L中的每一项都不为0。

证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有

1a?1?L?1a?n。 1a2a2a3nan?1a1an?1证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则 当d=0时，显然命题成立

当d≠0时， ∵

11?a??1?1?? nan?1d?anan?1?

再证充分性：

∵

1a?1?1?L?1?n1?a2a2?a3a3?a4aa n?n?1a1?an?1∴

1a?1?1?L?11n?11?a2a2?a3a3?a4a?a?a? nn?1an?1?n?2a1?an?2②﹣①得：

1n?1a??n

n?1?an?2a1?an?2a1?an?1两边同以anan?1a1得：a1?(n?1)an?1?nan?2 ………③ 同理：a1?nan?(n?1)an?1 ………④ ③—④得：2nan?1?n(an?an?2)

即：an?2?an?1?an?1?an ?an?为等差数列

………①

………②例2. 设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn?n(a1?an),(n?N*)。 2证：?）若{an}为等差数列，则

a1?an?a2?an?1?a3?an?2?……，

故

2Sn?(a1?an)?(a2?an?2)?.......?(an?a1)

Sn?n(a1?an) 2（?）当n≥2时，由题设，Sn?1?(n?1)(a1?an?1)n(a1?an),Sn?

22所以an?Sn?Sn?1?n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)? 22同理有an?1?(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)?

22(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)?n(a1?an)?从而an?1?an?

22整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立. 从而{an}是等差数列.

例3.已知数列?an?是等比数列（q??1），Sn是其前n项的和，则Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，…，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；

（2）当q≠1时， Sk?a1?1?qk?1?q?,S2k?a1?1?q2k?1?q

,S3k?a1?1?q3k?1?q

S2k?Sk?a1?1?q2k?1?qa1?1?qk?1?q?a1qk?1?qk?1?q?S3k?S2k?a1?1?q3k?1?q?a1?1?q2k?1?qa1q2k?1?qk?1?q