内容发布更新时间 : 2024/11/16 12:28:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《2.1.1 曲线与方程》教学案3

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础．

(二)能力训练点

在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．

(三)学科渗透点

从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育．

二、教材分析

1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．

(解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义．)

2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．

(解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系．)

3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用．

(解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概念又是概念的应用．)

三、活动设计

提问、讲授、讨论、引导、练习． 四、教学过程

(一)复习提问，引出课题

1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆命题与否命题两两等价．

学生给出解答如图2-1．

本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程．大家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就是方程的任一解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础．那么曲线和方程之间应有什么对应关系呢？这是本次课要研究的问题．课题是“曲线和方程”．

(二)运用例子，揭示内涵

例1 已知A(-2，-1)，B(3，5)，求线段AB中重线上点的坐标满足的关系． 解：如图2-2，设动点坐标为P(x，y)．则由定义可知|PA|=|PB|． (1)

(2)

平方并化简得：

10x+29y-29=0． (3)

故(3)就是AB中垂线所满足的关系．

事实上，一方面，AB中垂线上任一点P和A、B两点等距离，它符合条件(1)，即P点坐标是方程(2)的解，也是方程(3)的解；另一方面，方程(3)的一组解(x，y)，也是(2)的解即符合条件(1)，以(x，y)为坐标的点P必在AB的中垂线上．

由上可知，AB中垂线上点的坐标都是方程(3)的解；反之，以方程(3)的解为坐标的点都是AB中垂线上的点．

例2 用下列方程表示如图2-3所示的直线C，对吗？为什么？

上题供学生思考，口答．方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．第

即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的电的坐标．曲线是由点组成的，二元解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是图2-4的三种情况．

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1，又观察、分析了例2中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系．如果我们把例1中这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，那么，我们完全有条件给“曲线方程”下定义了．

(三)讨论归纳，得出定义