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2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{an}中，a2?2，a3?33，则a1?a2011的值为 .

a7?a20172.设复数z满足z?9?10z?22i，则|z|的值为 .

3.设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)?x2是奇函数，f(x)?2x是偶函数，则f(1)的值为 . 4.在?ABC中，若sinA?2sinC，且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为 .

5.在正四面体ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE?3，EF?4，且EF与平面BCD平行，则?DEF的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?{(x,y)|x,y??1,0,1}，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x?ay?a?0的焦距为4，则a的值为 .

8.若正整数a,b,c满足2017?10a?100b?1000c，则数组(a,b,c)的个数为 .

222二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2?a|?|5?2|对所有x?[1,2]成立，求实数a的取值范围.

xx210.设数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn?an?1an?2?an，n?1,2,?.

（1）证明：数列{bn}也是等差数列；

（2）设数列{an}、{bn}的公差均是d?0，并且存在正整数s,t，使得as?bt是整数，求|a1|的最小值.

11.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:y2?4x，曲线C2:(x?4)2?y2?8，经过C1上一点P作一条倾斜角为45的直线l，与C2交于两个不同的点Q,R，求|PQ|?|PR|的取值范围.

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2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）

一、（本题满分40分）

设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2

二、（本题满分40分）

给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集A1,A2,?,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab?cd?m.