内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:04:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

25(x?3)。 522(3)设圆的切线方程为y??x?b，代入圆的方程。整理得，2x?2bx?b?4?0，∵直线与圆相切

∴所求切线方程为

y??∴??(?2b)2?4?2(b2?4)?0，解得b??22。

y?22?0。

2∴所求切线方程为x?小结：利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。 例2：已知点P(x0,y0)在圆x?y2?Dx?Ey?F?0的外部，过P作圆的切线，切点为M，求证

22PM?x0?y0?Dx0?Ey0?F。

证明：如图7-53-1，圆心C(?

DE,?)， 22 6

半径

CM?12D2?E2?4F， CP?(xDE0?2)2?(y0?2)2

由勾股定理得

PM?CP2?CM2

?(xD2E2D2?E2?4F0?2)?(y0?2)?4

?x2y20?0?Dx0?Ey0?F

yNCMPOx图7-53-17

小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。 (2)以

CP为直径的圆与圆C相交于M、N两点，则M、N为切点。若圆C的方程为x2?y2?r2，则两切点连线所在的直线方程为

2x0x?y0y?r2。

例3：从圆外一点P(a,b)向圆x?y2?r2引割线，交该圆于A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。

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解：如图7-53-2，设AB的中点M(x,y)，

连接OM，OM?(x,y)，PM?(x?a,y?b)，

∵OM?PM，∴OM?PM?0，

即(x,y)(x?a,y?b)?0 ∴x(x?a)?y(y?b)?0

∴x2?y2?ax?by?0，(?r?x?r)

PyAOxMB图7-53-2

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小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。

备选例题：

例4：已知对于圆x*

2?(y?1)2?1上任意一点P(x,y)，不等式x?y?m?0恒成立，求实数m的取值范围。

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