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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

答案：C

2．(福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )

A．14 C．12

B．13 D．10

解析：因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.

答案：B

3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？

解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为m，个位数字为n，则有 当m＝1时，n＝0，有1个；

当m＝2时，n＝0,1，有2个；当m＝3时，n＝0,1,2，有3个；?? 当m＝9时，n＝0,1,2,3?8，有9个．

所有这样的两位数共有1＋2＋3＋?＋9＝45个.

分步乘法计数原理 [例2] (1)(山东高考)用0,1，?，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

( )

A．243 C．261

B．252 D．279

(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．

[思路点拨] (1)先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0. (2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．

[精解详析] (1)十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

(2)完成这件事可分三步：

第一步：取红球，有6种不同的取法； 第二步：取白球，有5种不同的取法； 第三步：取黄球，有4种不同的取法．

根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120种不同的取法．

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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

[答案] (1)B (2)120

[一点通] 利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事．

4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为( )

A．7 C．64

B．12 D．81

解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：

第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法； 第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法． 故共有4×3＝12种不同的配法． 答案：B

5．将3封信投到4个邮筒，所有投法有( ) A．24种 C．64种

B．4种 D．81种

解析：分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．

答案：C

6．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数．

解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成： 第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数． (2)分三步完成：

第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；

第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.

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两个计数原理的应用 2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

[例3] (12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．

[思路点拨] 本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．

[精解详析] 法一：分为两类：

第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种； 第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种． 共有36＋48＝84种． 法二：分为四步： 第一步：考虑A，有4种； 第二步：考虑B，有3种；

第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．

共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．

[一点通] 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．

7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )

A．18 C．14

解析：分为两大类：

第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标． 由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．

第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标． 由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．

由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个． 答案：C

8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．

解析：分为三类，每一类再分两步．

第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3

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B．16 D．10

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．

答案：71

9．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？

解：确定幸运观众可分两类：

第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400种结果；

第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11 400种结果．

根据分类加法计数原理，共有17 400＋11 400＝28 800种不同的结果．

1．两个计数原理的区别 区别一 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类” 每类办法都能独立地完成这件事，它是区别二 独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步” 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 区别三 2.“分类”“分步”应注意 (1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

[对应课时跟踪训练?一?]

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