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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )

A．37种 C．3种

B．1 848种 D．6种

解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)． 答案：A

2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有

( )

A．30个 C．36个

B．42个 D．35个

解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．

答案：C

3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )

A．756种 C．28种

B．56种 D．255种

解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)． 答案：D

4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )

A．12种 C．48种

B．24种 D．72种

A C D B 解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法． 由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法． 答案：D

5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．

解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)． 答案：72

6．如图，A→C，有________种不同走法．

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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

解析：A→C的走法可分两类： 第一类：A→C，有2种不同走法；

第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．

根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法． 答案：6

x2y2

7．设椭圆2＋2＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．

ab(1)求满足条件的椭圆的个数；

(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．

解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．

∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．

(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：

a b 2 1 3 1,2 4 1,2,3 5 1,2,3,4 故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆． 8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？

解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：

第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种． 第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．

因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．

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第一课时 排列与排列数公式

[对应学生用书P6]

[例1] 下列哪些问题是排列问题：

(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？ (2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？ (3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？ (4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？

[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关． [精解详析] (1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题． (2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题． (3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．

(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题． [一点通] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．

1．下列命题，

①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.

其中为真命题的是( ) A．①② C．②③ 答案：A

2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．

(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？ (2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？ (3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？

解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．

(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．

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排列的概念 B．①③ D．①②③

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3

不同排列为张红 李明；李明 张红；张红 赵华；赵华 张红；李明 赵华；赵华 李明．

(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．

列举法解决排列问题 [例2] 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有三位数．

[思路点拨] 可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列． [精解详析] 画出下列树形图，如下图．

由上面的树形图知，所有的三位数为：

123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．

[一点通] 在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．

3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数． 解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个． 答案：6

4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．

解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．

所以符合题意的所有排列是：

BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，

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