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1.6.2 导数与不等式问题

一、选择题

132

1．已知函数f(x)＝x＋ax＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是( )

3A．(3，＋∞) C．(－3，3)

解析：f′(x)＝x＋2ax＋3，

由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a－12>0，解得a>3或a<－3.选D. 答案：D

132

2．已知函数f(x)＝x－2x＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值

3范围是( ) A.?

2

2

B.(－∞，－3)

D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)

?17，＋∞?

?

?9?

2

B.?

?17，＋∞?

?

?9?

C．(－∞，2] D.(－∞，2)

解析：f′(x)＝x－4x，由f′(x)<0，得00，得x>4或x<0，

∴f(x)在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．

17

∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m≥.选A.

9答案：A

3．(2019·潍坊期中)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则它的导函数y＝f′(x)的图象可以是( )

解析：根据题意，由f(x)的图象分析可得，在y轴左侧，函数f(x)先减再增，最后减，其导数对应为先负后正，最后为负，即导数图象先在x轴下方，后在x轴上方，最后在x轴下方；在y轴右侧，函数f(x)为增函数，其导数对应为正，即导数图象在x轴上方，据此分析选项，D符合． 答案：D

4．函数f(x)＝x－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( ) A．[0,1)

B.(－1,1) D.(0,1)

2

2

3

?1?C.?0，? ?2?

解析：f′(x)＝3x－3a＝3(x－a)． 当a≤0时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a>0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a)．

当x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增； 当x∈(－a，a)时，f(x)单调递减．

所以当a<1，即0

5．若f(x)的定义域为R，f′(x)>2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B.(－1，＋∞) D.(－∞，＋∞)

解析：设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2恒成立，所以F′(x)＝f′(x)－2>0，即函数F(x)在R上单调递增．因为f(－1)＝2，所以F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0.所以由F(x)＝f(x)－2x－4>0，得F(x)＝f(x)－2x－4>F(－1)，

所以x>－1，即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．选B. 答案：B

6．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0

解析：因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0， 所以?

B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

?f?x??′＝xf′?x?－f?x?≤－2f?x?≤0，

?x2x2?x?

f?x?

在(0，＋∞)上单调递减． xf?a?f?b?

≥，即af(b)≤bf(a)．选A. ab则函数

由于0

7．当x∈[－2,1]时，不等式ax－x＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－5，－3] C．[－6，－2]

9??B.?－6，－?

8??

D.[－4，－3]

32

?1?3?1?21

解析：当x∈(0,1]时，得a≥－3??－4??＋，

?x?

?x?

x132

令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t－4t＋t.

x令g(t)＝－3t－4t＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t－8t＋1＝－(t＋1)·(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.

由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立， 故实数a的取值范围为[－6，－2]．选C. 答案：C

8．(2019·蚌埠三模)已知函数f(x)＝x＋.若曲线y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则

2x322

aa的取值范围是( )

A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)