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第三章
1、 已知A?(aij)是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间C中向量
n??(x1,x2,,xn),??(y1,y2,,yn)定义内积为(?,?)??A?H
（1） 证明在上述定义下，C是酉空间； （2） 写出C中的Canchy-Schwarz不等式。 2、 已知A??n
n
?21?11?3?，求N(A)的标准正交基。 ??11?101?提示：即求方程AX?0的基础解系再正交化单位化。 3、 已知
?308??,(1)A??3?16?????20?5??H??1?26??
(2)A???103?????1?14??试求酉矩阵U，使得UAU是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子
4、 试证：在C上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermite矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U，使UAU为对角矩阵，已知
Hn
?1?3??1(1)A????32?i?6??13216i?23?i??6?i? ?23?1?2??4i?6?2i??0?1i??4?3i?，(3)A?1??4i?
(2)A??1004?3i?2?6i???9???0??i00???6?2i?2?6i??1?1? (4)A????11?6、 试求正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵，已知
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?110?1?2?20???11?10???? (1)A???21?2?，(2)A???0?111???0?20?????1011??7、 试求矩阵P，使PAP?E（或PAP?E），已知
HTi1?i??1?22?2??，(2)A??25?4?
(1)A???i01???????1?i12????2?45??8、 设n阶酉矩阵U的特征根不等于?1，试证：矩阵E?U满秩，且H?i(E?U)(E?U)?1是Hermite矩阵。反之，若H是Hermite矩阵，则E?iH满秩，且U?(E?iH)(E?iH)?1是酉矩阵。
证明：若|E?U|?0，观察秩。HH?E?U?0知?1为U的特征值，矛盾，所以矩阵E?U满
?1H??(iE?U)(E??1U?)H???iE???1U(H?E，)要UHH?H，只要
1?i?E?UH?(EU?H)i?E(U?E)(U??)??(EU?H)E(U?)?E?UH??E(U? )?UH?U故HHU?HU??H
由E?iH??i(iE?H)?0知i为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得
E?iH?0，即E?iH满秩。
UHU?(E?iHH)?1(E?iHH)(E?iH)(E?iH)?1?(E?iH)?1(E?iH)(E?iH)(E?iH)?1?(E?iH)?1(E?iH)(E?iH)(E?iH)?1?E
9、 若S,T分别是实对称和实反对称矩阵，且det(E?T?iS)?0，试证：
(E?T?iS)(E?T?iS)?1是酉矩阵。
证明：
[(E?T?iS)(E?T?iS)?1]H(E?T?iS)(E?T?iS)?1?(E?T?iS)?1(E?T?iS)(E?T?iS)(E?T?iS)?1?(E?T?iS)?1(E?T?iS)(E?T?iS)(E?T?iS)?1?E
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10、 设A,B均是实对称矩阵，试证：A与B正交相似的充要条件是A与B的特征值相同。 证明：相似矩阵有相同的特征值。A与B正交相似?A与B的特征值相同。 若A与B的特征值相同，又A,B均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q，P使
QTAQ???PTBP?(QPT)TA(QPT)?B其中QPT为正交阵。
11、 设A,B均是Hermite矩阵，试证：A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。 证明：同上一题。
12、 设A,B均是正规矩阵，试证：与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。 同上
13、 设A是Hermite矩阵，且A?A，则存在酉矩阵U，使得UHAU??
2?Er?00? ?0??Er14、 设A是Hermite矩阵，且A?E，则存在酉矩阵U，使得UAU???02H0?。
?En?r??15、 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：AB与BA的特征值实部为0。 证：A为正定Hermite矩阵?A?LL，L为满秩的。
H?E?AB??E?LHLB?LH?E?LBLH(LH)?1，(LBLH)H?LBHLH??LBLH
LBLH是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为0,所以AB的特征值实部为0。
16、 设A,B均是Hermite矩阵，且A正定，试证：AB与BA的特征值都是实数。
HHHH?1证明：同上题。?E?AB??E?LLB?L?E?LBL(L)，
(LBLH)H?LBHLH?LBLH，LBLH是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为实数,所
以AB的特征值是实数。
17、 设A为半正定Hermite矩阵，且A?0，试证：A?E?1。
证明：A的特征值为?i?0，矩阵的行列式等于特征值之积。A?E特征值为?i?1，
A?E??(?i?1)?1
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18、 设A为半正定Hermite矩阵，A?0，B是正定Hermite矩阵，试证：A?B?B。 证明：B?LL，L为满秩的。
HA?B?A?LHL?LH(LH)?1AL?1?EL?(LH)?1AL?1?ELHL?(L)AL?EB(LH)?1AL?1为半正定Hermite矩阵，由上题(LH)?1AL?1?E?1，
A?B?(LH)?1AL?1?EB?B
19、 设A为正定Hermite矩阵，且A?U证明：存在U?UHn?nH?1?1
，则A?E。
n?n,A?U?UH，??diag(?1,,?n),?i?0。又A?Un?n，
E?AA?U?U?H?HU?UH??2??i2?1??i?1?A?U?UH?UEUH?E
20、 试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正
定Hermite矩阵之和是正定的。 提示：考查XH(A?B)X
21、 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。
HL为满秩的。A?B?LHE?(LH)?1BL?1L 提示：A为正定Hermite矩阵?A?LL，
(LH)?1BL?1是反Hermite矩阵，特征值?i实部为0,E?(LH)?1BL?1??(1??i)?0，所
以A?B?0
22、 设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。
证明：充分性，酉相似?相似。
H 必要性，A，B是n阶正规矩阵，A?U1H?1U1,B?U2?2U2,Ui?Un?n，又A与
B相似, A与B的特征值相同,可设
HH?1??2，A?U1H?1U1??U1HU2BU2U1,U2U1?Un?n
H23、 设A?A，试证：总存在t?0，使得A?tE是正定Hermite矩阵，A?tE是负定
Hermite矩阵。
提示：A的特征值为?i，则A?tE的特征值为?i?t
24、 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则A?E。 提示：
25、 设A、B均为正规矩阵。且AB?BA，则AB与BA均为正规矩阵。 提示：用Ｐ１５０定理，A,B可以同时酉对角化。
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26、 设A??A，试证：U?(A?E)(A?E)?1是酉矩阵。 提示：
HUHU?[(A?E)(A?E)?1]H(A?E)(A?E)?1?(?A?E)?1(?A?E)(A?E)(A?E)?1?(A?E)?1(A?E)(A?E)(A?E)?1?E27、 设A为n阶正规矩阵，?1,?2,
,?n为A的特征值，试证：AHA的特征值为
|?1|2,|?2|2,,|?n|2。
??1?1??UHAHAU????，
??n?????H?，所以AA的特征值?n?n????1?H提示：UAU????为?i?i??i 28、 设A?Cn?n2，试证：（1）AA和AA都是半正定的Hermite矩阵；（2）AA和AAHHHH的非零特征值相同。
提示：（1）XHAHAX?(AX)H(AX)?0 （2）AHAX??iX?AAHAX??iAX，特征值的重数也相同，参见P191
2r29、 设A是正规矩阵，试证：（1）若A?0（r为自然数），则A?0；（2）若A?A，
H322则A?A；（3）若A?A，则A?A。 30、 设A?A,B??B，求证以下三条件等价： （1）A?B为正规矩阵 （2）AB?BA （3）(AB)??AB
HH解：（1）?（2）(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B)?AB?BA?AB?BA由
HHHHHHHAH?A,BH??B?AB?BA。
HHHHH（2）?（3）AB?BA,由A?A,B??B?AB??BA??(AB)
H（2）?（1）(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B),由
AB?BA?(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B)
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