内容发布更新时间 : 2024/5/19 8:54:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 【知识拓展】

p?p

，0的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F??2?2

px＝－ 2x≥0，y∈R 向右 px＝ 2x≤0，y∈R 向左 p?F??2，0? y＝0 p－，0? F??2?e＝1 py＝－ 2y≥0，x∈R 向上 py＝ 2y≤0，x∈R 向下 p0，? F??2? O(0,0) x＝0 p0，－? F?2?? 焦半径．

a?a，0，准线方程为x＝－. 2．y2＝ax的焦点坐标为??4?4【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) a

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程

4a

是x＝－.( × )

4

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )

pp2

(4)AB为抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2

24

2

＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )

1．(2015·陕西)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A．(－1,0) C．(0，－1) 答案 B

pp

解析 由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标

22为1，0，故选B.

5

2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )

4A．1 C．4 答案 A

1

解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋，

4515

∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.

444

3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )

B．2 D．8 B．(1,0) D．(0,1)

()

A．22 C．4 答案 B

B．23 D．25

解析 设抛物线方程为y2＝2px，则点M(2，±2p)． p?∵焦点??2，0?，点M到该抛物线焦点的距离为3， p

2－?2＋4p＝9，解得p＝2(负值舍去)， ∴??2?故M(2，±22)． ∴|OM|＝

4＋4×2＝23.

4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y2＝－8x或x2＝－y

解析 设抛物线方程为y2＝2px (p≠0)，或x2＝2py (p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.

→→→5．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＝－FC，则

111

＋＋＝________. kABkBCkCA

答案 0

→→→

解析 设A，B，C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，∵FA＋FB＝－FC，∴△ABC的重心是F.

p?

∵抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为??2，0?， ∴y1＋y2＋y3＝0，

111y2＋y1y2＋y3y1＋y3y1＋y2＋y3∴＋＋＝＋＋＝＝0. kABkBCkCA2p2p2pp

题型一 抛物线的定义及应用

例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．