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高三 孙力 学 科 数学 版 本 人教版（文） 函数的单调性 【本讲教育信息】
一. 教学内容：
函数的单调性 1. 概念：设函数f(x)的定义域为I （1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当 x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么称函数f(x)在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数。 （3）单调区间：如果函数y?f(x)在某个区间是增函数或减函数，则称函数y?f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做y?f(x)的单调区间。 注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是f(x1)?f(x2)或f(x1)?f(x2) 1② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如y?在(??,0)与(0,??)上是减函数，x1不能说y?在(??,0)?(0,??)上是减函数。 x③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降 2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法 [例1] 证明函数f(x)?x?1在R上是增函数 证：设x1?x2，则f(x1)?f(x2)?x?x?23113113223213131132x1?x2x?xx?x1311231131132232 213233)?x2?0 而分子?x1?x2?0 分母?x?x?x?x?(x?x224故f(x1)?f(x2)?0 得证
补：讨论函数f(x)?a2x?x的单调性(0?a?1)
2x?x解：设a?1时，对任x?R，a?0，设x1?x2?1
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22f(x2)2?a2x2?x2?2x1?x1，而2x2?x2?2x1?x12?(x2?x1)[2?(x2?x1)]?0 f(x1)即f(x2)?f(x1)故在(??,1)单增，同理在(1,??)单减
当0?a?1时，同理在（??,1）单减，在（1，??）单增
[例2] 讨论f(x)?1?xx的单调性
解：设x1?x2，则f(x2)?f(x1)?1?x2x2?1?x1x1?(x2?x1)(1?1x1x2) ?(x2?x1)(x1x2?1)(x1?x2)x1x2 （1）当0?x1?x2?1时，0?x1x2?1，f(x2)?f(x1)?0 （2）当1?x1?x2时，1?x1x2，f(x2)?f(x1)?0 故f(x)在(0,1]上是减函数，在[1,??)上是增函数 [例3] 试求函数f(x)?x?p（p?0）的单调区间 xxx?ppp分析：考虑到f(x2)?f(x1)?x2?以下分类讨论 ?(x1?)?(x2?x1)12x2x1x1x2（1）当p?0时 ① 若x1?x2??p，则f(x2)?f(x1)?0，f(x)增 ② 若?p?x1?x2?0，则f(x2)?f(x1)?0，f(x)减 ③ 若0?x1?x2?④ 若p，则f(x2)?f(x1)?0，f(x)减 p?x1?x2，则f(x2)?f(x1)?0，f(x)增 （2）当p?0时 ① 若x1?x2?0，则f(x2)?f(x1)?0增 ② 若0?x1?x2，则f(x2)?f(x1)?0增 综上所述，p?0时，f(x)在[?p,0)或(0,p]上是减函数 f(x)在(??,?p]或[p,??)上是增函数 p?0时，f(x)在(??,0)或(0,??)上是增函数 函数 y?x?p xp范围 定义域 值域 渐近线 奇偶性 单调性 p?0 (??,0)?(0,??) p?0 (??,?2p)?(2p,??) y?x及x?0 奇函数 在(??,?p]及[p,??)分别单调递增 (??,??) 在(??,0)上递增，在(0,??)上递增
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在[?p,0)及(0,p]上分别单调递减 另法，利用导数f?(x)?1?（1）若p?0则f?(x)?p12?(x?p) 22xxp)
1(x?p)(x?x2（2）若p?0，则f?(x)?0下证
高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数f(x)?ax?b的单调性（ab?0） x以下只研究a?0,b?0与a?0,b?0两种情形对于a?0,b?0与a?0,b?0可利用对称性得到。 ba2b?(x?)?aax2x2bb利用导数可知f(x)在(??,?]与[,??)上为单增函数 aa解：当a?0,b?0时，由f?(x)?a?(x?bb)(x?)aa 2xbb,0)与(0,]为单减函数 aab当a?0,b?0时，由f?(x)?a?2?0知 xf(x)在(??,0)与(0,??)上为增函数，图象如下 f(x)在[?
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[例5]甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。 解：
（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s，全程运输成本为 vsa?s(bv?)，v?(0,c] vva（2）依题意s,a,b,v都为正数，故有s(?bv)?2sab vaa当且仅当?bv即v?时，上式中等号成立 vby?(a?bv2)aa时全程运输成本y最小 ?c，则当v?bbaa② 若?c，函数y?s(?bv)在(0,c]上是减函数 vb那么当且仅当v?c时，全程运输成本y最小 ① 若综上所述可知，为使全程运输成本最小，当行驶速度应为v?ab?c时 babab；当?c时，行驶速度应为v?c bb [例6] 在?ABC中，BC?a,AC?b,AB?c,?ACB??，现将?ABC分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为V1,V2,V3。 （1）求T?V3V1?V2（用a,b,c，?表示） （2）若?为定值，并令求这函数的最大值u （3）当?在[a?b?x，将T表示为x的函数，写出这函数的定义域，并c?3,?]内变化时，求u的最大值。
解：（1）设?ABC的BC、AC、AB边上的高分别为h1,h2,h3，由h1?bsin?，
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h2?asin?，h3?ah1absin??得 cc1?12?V1??h12a?ab2sin2?，V2??h2b?a2bsin2?，
333312?a2b2V3??h3c?sin2?
33cV3ab于是得T??(*)
V1?V2(a?b)ca?b?x，则由c2?a2?b2?2abcos?得 （2）令cc2?(a?b)2?2ab(1?cos?)?c2?c2x2?2ab(1?cos?) (x2?1)c2(x2?1)c2?ab??代入（*）得 ?2(1?cos?)4cos22(x2?1)c2(x2?1)c211T???(x?) ???x(a?b)c?4cos2c2x?4cos24cos2222a?b222)(1?cos?) 当?为定值时，c?(a?b)?2(2即c?(a?b)sin又0?222?2 ?2??2，于是x?a?b?c1sin2??csc?2 2（当且仅当a?b时，取等号） a?b??1，所以函数T(x)的定义域为(1,csc] c2??11因为T(x)?(x?)在(1,csc]上递增，所以当x?csc，即a?b时，T?22x4cos2211?1?取最大值，此时u?[?sin]?csc ??2424cos2sin22??11（3）由于??[,?)，u?是减函数，从而当??时，u取最大值为 ?3324sin2x2(a?0)的单调性 注：分式函数变通形式，函数y?x?a(x2?a2)?a2a2?2a ?x?a?将函数式变形为y?x?ax?aa2?2a 令t?x?a，则y?t?t由单调性，在t?(0,a]即x?(?a,0]上单减
又由a?b?c?0，知
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