内容发布更新时间 : 2024/6/24 20:40:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.9最小二乘法
一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。 教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解
教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 三、教学方法：动手操作，合作交流。 四、教学过程：
(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。 回顾上节课：师：我们现在来求距离和。怎么求？ 生：利用点到直线的距离公式
师生共同：只要求出使距离和最小的a、b即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例， 可以看出： 6050在RT△ABC中，（教师动画演示）
按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小， 403020CBA 当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。
-201020406080x100-10求AC麻烦，不妨求AB生：AB?yB?yA -20师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当自变量x取xi（i=1，2，……，n）
??bxi?a（i=1，2，……，n），它与实际收集到的yi之间的偏差是 时，可以得到y?i?yi?(bxi?a)（i=1，2，……，n） yi?y这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为
?)，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值?y?(y?yiii?1i?1nni?i，由于带绝对值计算不?y
方便所以换成平方，Q??)?(y?yiii?1n2?(y1?bx1?a)2?(y2?bx2?a)2?(y3?bx3?a)2?????(yn?bxn?a)2现在的问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小。
将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时
n?n???(x?x)(y?y)(x?x)(y?y)?ii?ii??nn ??2i?1???2i?1???(xi?x)?b??Q?n?a?(y?bx)?(yi?y)2?nn????i?1i?1(xi?x)2(xi?x)2???? i?1i?1??22b??(xi?1nni?x)(yi?y)??xi?1ni?1niyi?nxy2?(xi?x)2i?1?xi2?nx1n（其中x??xi，
ni?1
a?y?bx1ny??yi）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”
ni?1最小的方法叫“最小二乘法”。
设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点 （二）、直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
应用直线回归的注意事项：（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。 （四）、实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（统计资料如下表：
科研费用支出（
Xi）与公司所获得利润（Yi）的
Xi）与利润（Yi）统计表 单位：万元
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 要求估计利润（
科研费用支出 5 11 4 5 3 2 30 利润 31 40 30 34 25 20 180 Yi）对科研费用支出（Xi）的线性回归模型。
X?????X???Yi01i因为：解：设线性回归模型直线方程为：
YY??ni?Xni?30?56
?180?306 根据资料列表计算如下表：
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 Xi 5 11 4 5 3 2 30 Yi 31 40 30 34 25 20 180 XiYi Xi2 155 440 120 170 75 40 1000 25 121 16 25 9 4 200 Xi?X Yi?Y (Xi?X)2 (Xi?X)(Yi?Y) 0 6 -1 0 -2 -3 0 1 10 0 4 -5 -10 0 0 36 1 0 4 9 50 0 60 0 0 10 30 100 现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数
?0、?1的估计值：
???1?n?XiYi??Xi?Yin?Xi?(?Xi)226?1000?30?1806?200?3026000?5400?1200?900600?300?2
??Y???X?01?30?2?5 ?20