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第1讲 变化率与导数、导数的计算

知识点 考纲下载 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 123 能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x，y＝x，y＝，x导数概念及其几何 意义、导数的运算 y＝x的导数. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 导数在研究函 数中的应用 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题. 定积分与微 积分基本定理 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 了解微积分基本定理的含义.

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）Δy

lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)

ΔxΔx→0Δx→0Δx

Δyf（x0＋Δx）－f（x0）

或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝.ΔxΔxΔx→0

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－

x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0f（x＋Δx）－f（x）为f(x)的导函数．

Δx

2．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝axln__a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a f(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x (x>0) 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

1f′(x)＝ xf（x）?f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?(3)?′＝(g(x)≠0)． ?[g（x）]2?g（x）?4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )

(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

(教材习题改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为( )

B．－xsin xD．－xcos xA．xsin xC．xcos x解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.(2018·开封市第一次模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋mx＋n相切于点A(1，3)，则

3

n＝( )

A．－2

C．3

3

B．1D．4

2

解析：选C.对于y＝x＋mx＋n，y′＝3x＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3，1＋m＋n＝3，可

解得n＝3.

已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)

＝3，则a的值为________．

解析：因为f′(x)＝a(l＋lnx)，

所以f′(1)＝a＝3.

答案：3

(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝x＋在点(1，2)处的切线方程为__________．

2

2

1x解析：因为y＝x＋，所以y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－1＝1，所以所求切线方程为y－

2＝x－1，即x－y＋1＝0.

答案：x－y＋1＝0

[典例引领]

求下列函数的导数：(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；(2)y＝sin(1－2cos)；

(3)y＝3e－2＋e；

(4)y＝

xxx2

1x1x2 导数的计算

x22

x4ln x；x2＋12x－1.2x＋1(5)y＝ln2

【解】 (1)因为y＝(3x－4x)(2x＋1)＝6x＋3x－8x－4x＝6x－5x－4x，

3

2

2

3

2