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S F 01（数）

Ch 16

计划课时：

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多元函数的极限与连续1 0 时 P 207 — 214

2002. 08.20 .

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Ch 16

多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )

§ 1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )

一. 平面点集: 平面点集的表示: E?{(x,y)|(x,y)满足的条件}. 余集Ec.

1. 常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等. ⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.

⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}. ⑷ 角域: {(r,?)|?????}. ⑸ 简单域: X?型域和Y?型域.

2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的区别.

二. 点集拓扑的基本概念:

1. 内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为?E.

集合的内点?E, 外点?E , 界点不定 .

例1 确定集E?{ (x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的内点、外点集和边界 . 例2 E?{ (x,y)|0?y?D(x) , x?[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数. 确定集E的内点、外点和界点集 .

2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例3 E?{ (x,y)|y?sin }. 确定集E的聚点集 . 精品文档

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解 E的聚点集?E?[ ?1 , 1 ].

3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:

intE?E时称E为开集 , E的聚点集?E时称E为闭集. 存在非开非闭集.

R2和空集?为既开又闭集.

4. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .

5. 有界集与无界集:

6. 点集的直径d(E)： 两点的距离?(P1 , P2). 7. 三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.

三. 点列的极限: 设Pn?( xn , yn ), P0?( x0 , y0 ). 定义 limPn?P0的定义 ( 用邻域语言 ) .

n??例4 ( xn , yn )? ( x0 , y0 ) ?xn?x0, yn?y0, ( n?? ). 例5 设P0为点集E的一个聚点 . 则存在E中的点列{ Pn }, 使limPn?P0.

n?? 四. R2中的完备性定理:

1. Cauchy收敛准则:

先证{( xn , yn )}为Cauchy列?{ xn}和{ yn}均为Cauchy列. 2. 闭集套定理: [1]P116.

3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理.

4. 有限复盖定理:

五. 二元函数:

1. 二元函数的定义、记法、图象：

2. 定义域： 精品文档