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2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与三角形的综合问题

例题1：如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；

（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．

解：（1）由对称性得：A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，4）代入：4=﹣2a， a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；

（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D， ∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），

S=﹣2m+4m+4=﹣2（m﹣1）+6， ∵﹣2＜0，

∴S有最大值，则S大=6；

（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形， 理由是：

设直线BC的解析式为：y=kx+b， 把B（2，0）、C（0，4）代入得：解得：

，

，

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∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4， 设M（a，﹣2a+4）， 过A作AE⊥BC，垂足为E， 则AE的解析式为：y=x+，

则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2）， 设Q（﹣x，0）（x＞0）， ∵AE∥QM， ∴△ABE∽△QBM， ∴

①，

由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②， 由①②得：a1=4（舍），a2=， 当a=时，x=， ∴Q（﹣，0）．

同步练习：

1.如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

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